Probabilidad de que un azar 13-la mano de la tarjeta contiene al menos 3 cartas de un mismo palo?

Question

Un azar 13 cartas se reparten de una baraja de cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que la mano contiene al menos 3 cartas de un mismo palo? (Introducción a la Probabilidad, p.36)

Mi solución:

• Hay $\binom{52}{13}$ manos posibles.
• Porque hay 13 cartas para la mano, para obtener al menos tres cartas del mismo palo en cada mano, necesitamos tener exactamente tres cartas del mismo palo en cada mano, más una tarjeta adicional de cualquier palo, lo $\binom{13}{3}^4 * 4 \binom{10}{1}$
• Resultado: $\frac{40*\binom{13}{3}^4}{\binom{52}{13}} = 0.4214$

Sin embargo, la simulación en R se obtiene:

deck <- rep(1:4, 13)
out <- replicate(1e5,{
  hand <- sample(deck, size=13, replace=FALSE)
  all(table(hand) >= 3)
})
mean(out)
> 0.14387

¿Alguien puede decirme lo que está mal?

EDITAR

Me temo que, el código correcto debe ser.

deck <- rep(1:4, 13)
out <- replicate(1e5,{
  hand <- sample(deck, size=13, replace=FALSE)
  length(table(hand))==4 & all(table(hand) >= 3 )
})
mean(out)
> 0.10639

Answer 1

Dominik, su respuesta fue apagado por un factor de 4. Esto sucedió debido a que obtuvo una mano que contiene J,K,Q,Una de las espadas (por ejemplo) 4 veces: (JQK)(A), (QKA)(J), (KAJ)(Q), y (JAQ)(K)

Answer 2

Contamos con el "favourables," el 4-3-3-3 manos. El traje en el que tenemos $4$ tarjetas puede ser elegido en $\binom{4}{1}$ maneras. Para cada una de estas formas, el real $4$ tarjetas en que la demanda puede ser elegido en $\binom{13}{4}$ maneras. Para cada una de estas formas, las cartas de los otros tres trajes pueden ser elegidos en $\binom{13}{3}^3$ formas, para un total de $\binom{4}{1}\binom{13}{4}\binom{13}{3}^3$.

Comentario: Su recuento de los resultados de los procedimientos en múltiples contar. Pensemos, por ejemplo, de la 4-3-3-3 mano que tiene el K, Q, J, 10 de corazones, y algunas tarjetas específicas para el resto de la mano. Su cálculo de puntos de vista, por ejemplo, K, Q, J de corazones, y más tarde el 10 de corazones, K, J, 10 de corazones, y entonces Q de corazones.