Demostrar que, al menos una de las matrices de $A+B$ $A-B$ tiene que ser singular

Question

Problema: Vamos a $A$ $B$ ser real ortogonal de matrices, $n$x$n$ donde $n$ es un número impar. Demostrar que, al menos una de las matrices de $A+B$ $A-B$ tiene que ser singular.

Lo que he hecho hasta ahora:

-Desde matrices de $A$ $B$ son reales ortogonal, significa que sus determinantes son de $-1$ o $+1$

Primero observé matriz $A+B$: $$A+B=AI+BI=ABB^T+BAA^T=AB(B^T+A^T)=AB(A+B)^T\Rightarrow$$

$$det(A+B)=det(AB)det(A+B)^T=det(A)det(B)det(A+B)$$

Por lo tanto, si $detA=detB$ tenemos $det(A+B)=det(A+B)$ que me dice nada. Pero, si $detA=-detB$ tenemos $det(A+B)=-det(A+B)$ que sólo puede hapen si $det(A+B)=0$, lo $A+B$ singular.

A continuación, he probado el mismo para $A-B$: $$A-B=AI-BI=ABB^T-BAA^T=AB(B^T-A^T)=AB(A-B)^T\Rightarrow$$

$$det(A-B)=det(AB)det(A-B)^T=det(A)det(B)det(A-B)$$

Por lo tanto, si $detA=-detB$ tenemos $det(A-B)=-det(A-B)$ lo que puede suceder si $det(A-B)=0$, lo $A-B$ singular.

Es correcto esto o que debo hacer matriz $A-B$ diferente? Yo también estoy un poco confundido ¿por qué tiene que ser dicho que $n$ es un número impar? Lo que debe decirme?

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

(1) Si $X$ es real $n\times n$ sesgar matriz simétrica, es decir, $X+X^T=0$, y si $T$ medios de transponer, entonces $$ {\rm det}\ X={\rm det}\ -X^T={\rm det}\ (-I)X={\rm det}\ X (-1)^n $$ where $I$ es un de la identidad. Así que si $n$ es impar, a continuación, ${\rm det}\ X=0$

(2) Supongamos que $A,\ B$ son ortogonales Entonces a partir de la $AA^T=I=BB^T$, $$ (A+B)(A-B)^T= BA^T - AB^T $$

Tenga en cuenta que si $Y=BA^T$, $(A+B)(A-B)^T=Y-Y^T$ es sesgar simétrica. Por lo ${\rm det}\ (A+B)(A-B)^T =0$. Así que en leat uno de $A+B,\ A-B$ es singular.

Answer 2

Usted puede escribir $$ Un\pm B=a(\mathbf 1 \pm^T B)=A(\mathbf 1 \am P), \quad Q\textrm{ ortogonal} $$ A continuación, $A\pm B $ es singular iff $\mathbf 1 \pm Q $ es singular. Pero $Q$ tiene siempre un autovector $v$ con autovalor $\pm 1$ al $n$ es impar, por lo tanto, $\mathbf 1 -Q $ o $\mathbf 1 + Q$ tiene que ser singular.

Answer 3

Sugerencia Desde $A$ es invertible, $A \pm B$ es singular iff $A^{-1} (A \pm B) = I \pm A^{-1} B$ es. Por otro lado $A^{-1} B$ es ortogonal (el conjunto de matrices ortogonales es cerrado bajo la recíproca y la multiplicación), y desde $n$ es impar, se ha $\mp 1$ como un autovalor (cada valor propio de una matriz ortogonal tiene unidad de módulo, y todos los impares de tamaño real de la matriz tiene un autovalor real). Ahora, utilice el hecho de que si $\lambda$ es un autovalor de a$C$, $\lambda + \mu$ es un autovalor de a $A + \mu I$.