Son medidor de decisiones en la electrodinámica realmente siempre es posible?

Question

Si $B$ es el campo magnético y $E$ Campo eléctrico, entonces

$$B=\nabla\times A,$$

$$E= -\nabla V+\frac{\partial A}{\partial t}.$$

Existe invarianza de norma para el trnasformation

$$A'\rightarrow A+\frac{\nabla L}{dt},$$

$$V'\rightarrow V-\frac{dL}{dt}.$$

Ahora, podemos escribir:

• Coulomb Calibre (CG): la elección de una $L$ que implica la $\nabla\cdot A=0$.

• Lorenz Calibre (LG): la elección de una $L$ que implica la $\nabla \cdot A+\frac{1}{c^2} \frac{\partial V}{\partial t}$.

Ahora, estoy tratando de demostrar que, MATEMÁTICAMENTE, es siempre posible encontrar un $L$ que satisface $CG$ o $LG$.

Answer 1

La correcta Indicador de la transformación de la fórmula debe ser $$\begin{aligned} \mathbf A &\mapsto \mathbf A + \nabla \lambda \\ \mathbf V &\mapsto V - \frac{\partial\lambda}{\partial t}, \end{aligned} $$ no es algo con "gradL/dt". El gauge de Coulomb requiere de $\nabla\cdot\mathbf A=0$, no "rotA = 0". El Lorenz calibre requiere de $\nabla\cdot\mathbf A + \frac1{c^2}\frac{\partial V}{\partial t}=0$, no "de la gradA+1/c^2 dV/dt".

El gauge de Coulomb puede ser elegido por la solución de la ecuación de Poisson $$ \nabla^2 \lambda = -\nabla\cdot\mathbf A$$

El Lorenz calibre puede ser elegido por la solución de la no homogénea de la ecuación de onda $$ \nabla^2 \lambda - \frac1{c^2}\frac{\partial^2\lambda}{\partial t^2} = -\nabla\cdot\mathbf A+\frac1{c^2}\frac{\partial V}{\partial t}$$

(Sustituto de la transformación de los potenciales en las condiciones de la Pde)

Existencia de soluciones de estas ecuaciones en derivadas parciales están garantizados a largo como el origen de los términos (cosas en la RHS) son "bien comportado" (por ejemplo, $\nabla\cdot\mathbf A$ debe crecer más lento de lo $1/r$ en la ecuación de Poisson)

Answer 2

No estoy seguro de que he entendido tu pregunta. Mira, todos los E&M Lagrangians han calibre de la libertad "integrada", en el sentido de que se puede re-escribir la $E$ $B$ campos y el Lagrangiano no va a cambiar. Por lo tanto, siempre es posible para usted para hacer una selección de la galga, que siempre tienen esa libertad.

En un poco tangencial nota, recordar lo teorema de Helmholtz tiene que decir: siempre se puede descomponer un "bien comportado" campo de vectores en una suma de un rizo y un grad parte. Y esto es exactamente lo que estás haciendo a la $E$ $B$ campos de Maxwell de la nca. Así, ahora la pregunta es: ¿qué sucede cuando usted aplica su medidor de transformación en este contexto? Es decir, ¿qué es $\nabla\times\nabla$$\nabla\cdot\nabla$? ¿Qué implica esto para $A$ (lo que la ecuación que se obtiene por el vector de potencial)?

Esto debe ponerse en marcha...