Tengo un ligero ataque de ansiedad como padre y odio enseñarle algo incorrecto a mi hijo.
Wikcionario me dice que un Hexágono es un polígono con $6$ lados y $6$ ángulos.
¿Por qué el requisito de los $6$ ángulos? Esto me tiene confundido.
¿La forma de abajo también sería considerada un hexágono?
Sí, seguiría considerándose un hexágono. La razón por la que requerimos "$6$ ángulos" es probablemente solo porque no queremos que las $6$ líneas se crucen y creen "más de $6$ ángulos". Los hexágonos en los que probablemente estás pensando (los que tienen todos los ángulos y lados iguales) serían hexágonos regulares.
Espero que eso ayude.
Un hexágono es un polígono cerrado simple $P$ (presumiblemente en el plano) con $6$ lados. Simple significa que los lados están dispuestos en orden cíclico, que dos lados subsecuentes tienen exactamente un punto, llamado un vértice, en común, y que de lo contrario los lados no se intersectan. Tal vez quieras incluir la condición de que los lados subsecuentes no deben ser paralelos. El teorema de la curva de Jordan garantiza entonces que $P$ tiene un interior bien definido (un "hexágono abierto") y un exterior que se extiende hasta el infinito.
El polígono en tu figura es un hexágono de acuerdo con esta definición. Si quieres excluirlo tendrías que requerir explícitamente que el hexágono considerado sea convexo. (Tal vez puedas aprovechar esta oportunidad para familiarizar a tu hijo con la noción de convexidad $\ldots$)
(Este comentario era demasiado largo para ser un comentario en la respuesta de @Joseph.)
Branko Grünbaum fue mi asesor de posgrado, así que no pude evitar adoptar una visión muy amplia de polígonos y poliedros. Para mí,
Un "hexágono" consiste en seis puntos no necesariamente distintos (los "vértices"), conectados, en orden, por seis segmentos de línea de posiblemente longitud cero (los "bordes").
(Los "bordes" ni siquiera realmente necesitan ser segmentos de línea recta, sino que pueden ser curvas. Para los fines de esta discusión, mis bordes son rectos). La definición abarca figuras familiares convexas y no convexas, aquellas cuyos bordes se encuentran o se cruzan en puntos que no son sus vértices (aunque los puntos de cruce no se consideran nuevos vértices), aquellas que trazan múltiples veces una figura más simple (digamos, yendo alrededor de un triángulo dos veces), la que en la que todos los vértices coinciden y no se pueden ver los bordes (a esto lo llamo el "punto"), y casos en los que los vértices ni siquiera están confinados a un plano.
Aquí hay una figura, con "15-gones", de mi nota, "Realizaciones Espectrales de Grafos", que examina versiones altamente simétricas de estos polígonos y poliedros ampliamente definidos. Cada imagen contiene un polígono definido por 15 vértices unidos por 15 bordes, pero se permite que los bordes se crucen y que los vértices coincidan. (El polígono en (a) es el solitario "punto" negro en la extrema derecha del círculo fantasmal de puntos de referencia gris).
(Las matemáticas de la nota pueden resultar un poco intimidantes, pero la mayor parte del contenido comprende innumerables imágenes que todos pueden disfrutar).
Una ventaja de esta visión más amplia (¡y aún no la más amplia!) es que permite deformar cada miembro de la familia de "hexágonos" en cualquier otro simplemente moviendo los vértices sin tener que preocuparse por que los bordes se crucen o colapsen. Esta libertad conduce a matemáticas extraordinarias relacionadas con "agregar" figuras.
A continuación hay una figura de mi nota "Una Extensión de un Teorema de Barlotti" que trata esta noción de adición. La figura indica cómo los vértices de los pentágonos regulares se combinan para dar un vértice del pentágono "más plano".
Se necesita la visión muy amplia de los polígonos aquí, porque la definición de "adición" se aplica vértice por vértice, sin preocuparse por cómo se relacionan los resultados de cada paso entre sí; es posible en general, por ejemplo, que los pentágonos que se suman se agiten de tal manera que el pentágono resultante tenga bordes cruzados o colapsados.
En última instancia, se puede combinar los resultados de mis dos notas y afirmar, por ejemplo, que
Cualquier hexágono, deformado de manera extraña (pero con bordes rectos), auto-intersectante, con bordes colapsados o no planar, como desee, es la "suma" de maravillosos hexágonos regulares, planos.
Un inconveniente de esta visión amplia es que se pierde conexión con algunos hechos básicos (por ejemplo, "las medidas de los ángulos de un hexágono suman 720 grados") que se aplican solo a las figuras más elementales que uno encuentra al principio en Geometría, pero como menciona @Joseph, "[A] menudo, la manera en que las matemáticas avanzan es cuando un concepto intuitivo/familiar evoluciona para obtener una visión más amplia de ideas".
Lo que aprendí de Branko Grünbaum es que
Una vez que crees que completamente entiendes algo (como la noción de "polígono"), aparecerá una generalización que muestra que apenas estás comenzando. Este principio se aplica incluso cuando ya has tenido en cuenta este principio, es decir: nunca has terminado.
No es una cita, pero creo que resume bastante bien su filosofía.
Entonces, aunque todo esto está muy lejos del alcance del curso actual de tu hijo, puede ser útil tener conciencia de que hay mucho más en matemáticas de lo que se presenta en un solo libro de texto... si solo para animar a los estudiantes aburridos en clase a encontrar formas de retorcer los conceptos de maneras que los hagan interesantes. ("Pero ¿qué pasa si algunos de los vértices de mi hexágono se levantaran de la página?") Esto realmente es como a menudo avanzan las matemáticas.
El diagrama que dibujaste se considera un hexágono, pero a menudo la forma en que las matemáticas crecen es cuando un concepto intuitivo/familiar evoluciona para obtener una visión más amplia de ideas. Esto ha sido especialmente cierto para la geometría. La característica crítica de un polígono es que los segmentos de línea recta unen los puntos involucrados. Las primeras menciones de polígonos asumían implícitamente que uno estaba tratando con polígonos convexos, que tenían puntos distintos, que no tenían tres puntos en línea recta o no tenían tres puntos consecutivos en línea recta, que diferentes puntos no podían estar uno encima del otro y que los puntos estaban todos ubicados en un solo plano. Ahora, los geómetras a menudo investigan situaciones donde algunas de estas condiciones se relajan y como resultado han surgido muchos fenómenos geométricos nuevos y emocionantes.
Para una mirada fascinante a este tipo de problema para poliedros en lugar de polígonos, consulta el maravilloso artículo de Branko Grünbaum, "¿Son tus poliedros los mismos que mis poliedros?"
http://www.math.washington.edu/~grunbaum/Your%20polyhedra-my%20polyhedra.pdf
Trata de las muchas formas diferentes en que se puede definir el concepto de un poliedro.
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