Esta pregunta viene de un colega que hace el operador de la teoría, y por lo tanto funciona con los no-unital anillos, que me sabe muy poco acerca de. Es bien conocido que cualquier no-unital anillo de $R$ puede ser incrustado en una unital anillo de $R_1= \mathbf{Z} \oplus R$. Es cierto que el Jacobson radical de $R$ es el mismo que el radical de $R_1$? En esta situación, $R$ es también una de dos caras ideal en $R_1$. Es el radical de $R$ considera como un $R_1$-módulo de la misma como su radical como un anillo?
Respuesta
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egreg
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Voy a escribir los elementos de $R_1$ $(m,x)$ donde$m\in\mathbb{Z}$$x\in R$. Además es de las componentes y de la multiplicación es
$$(m,x)(n,y)=(mn,nx+my+xy).$$
Un elemento $x$ en un anillo de $R$ se llama derecho cuasi-regular si existe $y$ $R$ tal que $x+y+xy=0$.
En un unital anillo lo que equivale a decir que el $1+x$ es derecho invertible, porque, a continuación,$(1+x)(1+y)=1+x+y+xy=1$.
Al igual que en el unital caso, uno puede mostrar que $x\in J(R)$ (Jacobson radical) si y sólo si $xy$ es derecho cuasi-regulares para todos los $y\in R$. Este es el mismo, en el unital caso, como $1+xy$ derecho de ser invertible para todos los $y\in R$.
Observe que el Jacobson radical se define como la intersección de todos los maximal regular el derecho de los ideales. Un ideal de derecho $I$ es regular si existe $e\in R$ tal que $ex-x\in I$ todos los $x\in I$.
Ahora, vamos a ver qué elementos en $R_1$ están en el Jacobson radical. Si $(m,x)$ es en el Jacobson radical, a continuación, $(1,0)+(m,x)$ debe ser el correcto invertible:
$$ (1,0)=(m+1,x), (n,y)=((m+1)n,nx+(m+1)x+xy) $$
por lo $(m+1)n=1$. Esto implica $m+1=1$ o $m+1=-1$. Pero también se $(1,0)+(-m,-x)$ debe ser el correcto invertible y el mismo cálculo muestra $1-m=1$ o $1-m=-1$. La única posibilidad es, a continuación,$m=0$.
Por lo tanto los elementos en el Jacobson radical de $R_1$ debe ser de la forma $(0,x)$. Diciendo que $(1,0)+(0,x)$ es derecho invertible, usando el cálculo anterior, significa un derecho inversa es de la forma$(1,y)$$x+y+xy=0$: $x$ es derecho cuasi-regulares, y a la inversa.
Es fácil concluir ahora que un elemento $(m,x)$ pertenece a la Jacobson radical de $R_1$ si y sólo si $m=0$$x\in J(R)$.
