Para un Espacio Vectorial $V = A \oplus B = A \oplus C \implies dim(B) = dim(C) $?

Question

Para un número finito de dimensiones del espacio no hay ningún problema.
$dim(V) = dim(A) + dim(B) = dim(A) + dim(C) \implies dim(B) = dim(C)$

Para un espacio de infinitas dimensiones que todavía tiene que $dim(V) = dim(A) + dim(B) = dim(A) + dim(C) $

Pero esto puede ser satisfechos por ejemplo por $dim(V) = \aleph_0$; $dim(A) = \aleph_0$; $dim(B) = 1$; $dim(C) = 2$.

Intuitivamente, creo que la afirmación es verdadera. ¿Alguien puede dar una prueba (o contraejemplo) ?

(Nota: $\oplus$ es la suma directa, por lo $A \cap B = A \cap C = \{0\}$$span(A \cup B) = span (A \cup C) = V$).

Una reflexión adicional inspirado por un ya eliminado el comentario es para la construcción de $V$ $W$ como externa directa sumas de $A = \mathbb R^{\aleph_0}$; $B = \mathbb R$; $C = \mathbb R^2$ con $V = A \oplus B$$W = A \oplus C$. A continuación, $dim(V) = dim(W) = \aleph_0$ $V$ $W$ son isomorfos, pero son iguales (es decir, $x \in V \implies x \in W$ y viceversa) ?

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El contexto original de la pregunta era que si $f$ es un no-cero funcional lineal sobre un espacio vectorial $V$ se puede establecer que el $V = ker(f) \oplus span (w)$ donde $w$ es cualquier vector fuera del núcleo. Así que yo quería a la conclusión de que si $V = ker(f) \oplus X$$dim(X)= 1$. Este sería si la afirmación aquí es cierto desde $dim(span(w)) = 1$.

Answer 1

La respuesta depende de la interpretación de $A \oplus B = V = A \oplus C$.

Si esto significa, que el $A,B,C$ son supspaces de un determinado espacio vectorial $V$ (por Lo tanto la interpretación de la suma directa de una suma directa), obtenemos $B \cong V/A \cong C$, por lo tanto la afirmación es verdadera.

Si dejamos que la suma directa de ser externo y sólo suponga $A \oplus B \cong A \oplus C$, la declaración es, por supuesto, falso, puesto que $K^{(\mathbb N)} \oplus K \cong K^{(\mathbb N)} \cong K^{(\mathbb N)} \oplus K^2$.

Answer 2

Todo espacio vectorial tiene una base: así que si usted elige una base para $A$, y una base para $B$, luego de obtener una base $\{a_i\}_{i \in I} \cup \{b_j\}_{j \in J}$$V$.

Podemos expresar cada una de las $b_j$ $a'_j + c_j$ para un único $a'_j \in A$, $c_j \in C$. A continuación, obtenemos una nueva base para $V = A \oplus C$$\{a_i\}_{i \in I} \cup \{c_j\}_{j \in J}$. El $c_j$ forma una base para $C$, lo $\dim C = \text{card } J = \dim B$.