Adjunto al funtor de olvido $U:\mathbf{Ring}\to\mathbf{AbGrp}$

Question

Así pues, la siguiente, y espero que última, pregunta en mi creciente lista de preguntas sobre adjuntos a funtores olvidados se refiere al adjunto izquierdo del funtor $U:\mathbf{Ring}\to\mathbf{AbGrp}$ .

Mi enfoque hasta ahora ha sido tomar el monoide libre $F(A)$ sobre el conjunto bajo el grupo abeliano A, entonces el abgrupo libre $AbF(A)$ de $F(A)$ y finalmente identificar todos los elementos $'ab+ab'$ con $a(b+b)$ y $(a+a)b$ .

Pero me parece que he ido demasiado lejos al olvidar la estructura abeliana al hacer el monoide libre. Tal vez podamos tomar un monoide libre sobre el grupo inmediatamente y definirlo para que sea consistente con la adición de manera que $a(b+c)d= abd+acd$ .

Encontré que un enfoque similar era necesario cuando se define el grupo libre sobre un monoide, pero la situación es muy diferente aquí, y me falta la habilidad para buscar mis propias soluciones con confianza.

Gracias de antemano por cualquier respuesta.

Answer 1

Para dar algunos detalles más sobre mi comentario: Dejamos que $F(A) = \bigoplus_{n\ge 0} A^{\otimes n}$ con la obvia adición y la multiplicación inducida por los mapas $A^{\otimes n} \times A^{\otimes m} \to A^{\otimes (n+m)}$ en los sumandos. Entonces $F(A)$ es un anillo. Dado un anillo $R$ y un $\mathbf{AbGrp}$ -morfismo $f\colon A \to UR$ definimos $\bar f\colon F(A) \to R$ por $\bar f(a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) := f(a_1)\cdots f(a_n)$ . Entonces $\bar f$ es un $\mathbf{Ring}$ -morfismo (sólo hay que comprobarlo calculando). Obviamente $ \bar f|_{A} = f$ (aquí utilizamos $A = A^{\otimes 1} \subseteq F(A)$ ), por lo que $f \mapsto \bar f$ es uno a uno. Para ver que es onto, dejamos que $g\colon F(A) \to R$ ser un $\mathbf{Ring}$ -morfismo y $f := g|_A$ . Ahora tenemos $$ g(a_1\otimes \cdots \otimes a_n) = g(a_1)\cdots g(a_n) = f(a_1) \cdots f(a_n) = \bar f(a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) $$ Así que $g = \bar f$ . Así que $f \mapsto \bar f$ da una biyección $\mathbf{AbGrp}(A, UR) \to \mathbf{Ring}(FA, R)$ que es natural. Así que $F$ es adjunto a la izquierda de $U$ .

Answer 2

Cuando $R$ es un anillo, el funtor de olvido $\mathrm{Alg}(R) \to \mathrm{Mod}(R)$ tiene un adjunto izquierdo, a saber, el conocido álgebra tensorial de un módulo. Si se quiere el adjunto izquierdo del functor olvidadizo $\mathrm{CAlg}(R) \to \mathrm{Mod}(R)$ tenemos que modificar los conmutadores en el álgebra tensorial y llegar a la conocida álgebra simétrica . Para $R=\mathbb{Z}$ se entiende la situación de su pregunta.

Si quieres evitar los productos tensores, puedes hacer lo siguiente: Deja que $M$ ser un $R$ -módulo. Entonces el álgebra tensorial $T(M)$ es el libre $R$ -álgebra generada por los símbolos $\underline{m}$ con sujeción a las relaciones $\underline{m+n}=\underline{m}+\underline{n}$ y $r \cdot \underline{m} = \underline{r \cdot m}$ para todos $m,n \in M$ y $r \in R$ . Así, los elementos de $T(M)$ son polinomios no conmutativos en $M$ por ejemplo $m \cdot n + m \cdot n \cdot m$ (normalmente se escribe $m$ en lugar de $\underline{m}$ Esto está bien, ya que se puede demostrar que $M \to T(M)$ es inyectiva). Para construir el álgebra simétrica, se toma la libre conmutativo $R$ -Álgebra, etc. Por ejemplo, el polinomio anterior se identifica con $m \cdot n + m \cdot m \cdot n$ .

Existe un procedimiento general para producir funtores adyacentes a la izquierda para funtores olvidados entre categorías algebraicas; ya lo he ilustrado en tus anteriores preguntas: Cómo hacer un monoide conmutativo o en un grupo . Si no has visto el patrón general, prueba con otro ejemplo: Encuentra el adjunto izquierdo del functor olvidadizo $B \hookrightarrow \textbf{Mon}$ , donde $B$ es la categoría de los "monoides booleanos"; un monoide $M$ se llama booleano si $m^2=m$ para todos $m \in M$ .