Deje $D$ denotar al abrir la unidad de disco. Si $f:D\rightarrow D$ es continua en, y se extiende a una función continua $\bar{f}:\bar{D}\rightarrow\bar{D}$, entonces debe $\bar{f}(\partial D$) contenida en (o, posiblemente, incluso igual) $\partial D$?
Respuesta
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La forma más fácil es ver que $\bar{f}(\partial D)$ contiene $\partial D$.
De hecho, vamos a $y\in \partial D$ y deje $y_n\in D$ convergen a $y$.
- Desde $f$ es sobre hay una secuencia $x_n$ tal que $f(x_n)=y_n$.
- Desde $\bar{D}$ es compacto, existe una larga $x_{\phi(n)}$ que es convergente, para algunos límite de $x$.
- Desde $\bar f$ es continua, $\bar f(x)=y$
- Desde $f(D)\subset D$, $x\not \in D$, por lo tanto, $x\in \partial D.$
Ahora podemos imaginar un ejemplo donde $\bar{f}(\partial D)$ no está contenido en $\partial D$? Sí:
Considerar el mapa de $\bar f\colon \bar D\to \bar D$ definido por $z\mapsto z^2$ donde $\bar D$ es considerado como el cerrado de la unidad de disco en $\Bbb C$. Este es el cierre de la unidad de disco, doblado dos veces sobre sí misma con un punto de ramificación en $0$.
A continuación, utilice un homotopy a tomar un poco de los límites de una de las dos hojas ligeramente la espalda hacia el interior de la $D$.
