¿Cómo convencer a los estudiantes en la escuela secundaria para que esta ecuación: $2^x=4x$ tener una única solución en los números enteros que se $x=4$?

Question

Me gustaría convencer a mi estudiante en la escuela de alto nivel mediante un simple

forma matemática para resolver esta ecuación: $$2^x=4x$$ in $\mathbb{z}$ que sólo tienen un entero solución que es $x=4$ .

Mi pregunta aquí : ¿Cómo convencer a los estudiantes en la escuela secundaria para que esta ecuación: $$2^x=4x$$ have only one solution that is $x=4$

Nota : no quiero utilizar la sustitución de convencerlos y por métodos numéricos no pueden darnos exactamente $x=4$

EDIT: he editado la pregunta como está muy relacionado con el precedente

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Sugerencia:

trazar la gráfica de $y=2^x$ $y=4x$ y la muestra de que la única solución es entre el$0$$1$.

Answer 2

Si tu intención es la de "convencer" y no demostrar, me gustaría dibujar un gráfico con las funciones de $y=2^x$$y=4x$. La tasa de crecimiento de cada función debe dejar en claro que se cruzan sólo en dos puntos, el primero entre el $0$ $1$ (y, por tanto, al no ser un número entero).

Answer 3

Para los positivos $n$, tenemos dos secuencias de crecimiento

$$1,2,4,8,\color{color verde}{16},32,64,128,256\cdots\\ 0,4,8,12,\color{color verde}{16},20,24,28,32\cdots$$

Esto muestra que la "curvas" se cruzan entre sí en $16$, y parece que la primera crece más rápido.

De hecho, la adopción de los coeficientes de los términos sucesivos

$$\frac{2^{n+1}}{2^n}=2>\frac{4(n+1)}{4n}=1+\frac1n.$$

Answer 4

Primero de todo, la solución de $2^x=4x$ tiene que ser positiva.

Tenemos $$\frac{2^x}{x}=4\tag1$$ y deje $f(x)=\frac{2^x}{x}$. Entonces, tenemos $$f'(x)=\frac{2^x(x\ln 2-1)}{x^2}$$

Así, sabemos que $f(x)$ es el aumento de $x\gt \frac{1}{\ln 2}$ donde $1=\frac{1}{\ln e}\lt\frac{1}{\ln 2}\lt \frac{1}{\ln\sqrt e}=2$.

Desde $f(1)=2,f(2)=2,f(3)=8/3,f(4)=4$, no es el único entero solución de $x=4$$(1)$.

Answer 5

Las soluciones solo pueden ocurrir por $x>0$ cuando ambos lados tienen el mismo signo. Tomar la derivada de $f(x)=2^x-4x$ y ver que $f(4)=0$$f'(x)>0$$x>4$, por lo que la función de $f(x)>0$ $x>4$ ya que es creciente, por lo tanto, no hay más soluciones para $x>4$. Prueba de otros enteros $x=1,2,3$ es fácil.