La intuición acerca de la geodésica incompleto

Question

Para el estado el contexto, estoy familiarizado con la de Hopf-Rinow teorema.

Mi solicitud es de tres veces,

• Me gustaría saber de clases generales de geodesically incompleta espacios. Yo, básicamente, quieren ver un montón de ejemplos de esto.

• Quiero saber de técnicas de probar y probar para geodésica incompleto o completo.

• Quiero saber de los métodos de prueba y pruebas de la existencia de la extensión máxima de las curvas.

{Confusamente en un poco de literatura he visto el adjetivo "improrrogables" que se utiliza cuando en realidad no lo parecen querer decir "extendidos al máximo". Hay algunas sutiles punto de que me estoy perdiendo?}

Answer 1

Geodésica de la incompletitud se produce cuando el espacio tiene "agujeros" en él, o si se puede "caer en el borde" del espacio. Aquí están algunos ejemplos:

1. El perforado de avión $\mathbb{R}^2 - \{(0,0)\}$ es geodesically incompleta en el nivel métrico. Por ejemplo, una geodésica horizontal de partida en $(-1,0)$ y los viajes en el positivo $x$-dirección sólo puede ser prorrogado por una sola unidad.

   Tenga en cuenta que este espacio es homeomórficos para un cilindro infinito $S^1\times\mathbb{R}$, que se completa con arreglo a la norma métrica. La diferencia es que no es posible obtener hasta el infinito en un número finito de distancia en el cilindro, mientras que es en el plano perforado.

   Cubre de un geodesically incompleta espacio también geodesically incompleta. Por lo tanto todas las portadas de los perforado plano son geodesically incompleta, incluyendo la cobertura universal.

2. Al abrir la unidad de disco $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2 < 1\}$ es geodesically incompleta en el nivel métrico. No geodésica puede ser extendido por más de $\pi$ unidades.

3. El abrir de la mitad superior del plano de $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y >0\}$ es geodesically incompleta en el nivel métrico. Como con el disco, la idea es que geodesics puede caer en el borde del espacio.

   Tenga en cuenta que la mitad superior del plano se completa con arreglo a la métrica hiperbólica. La diferencia es que se tarda un tiempo infinito para llegar a la $x$-eje bajo la métrica hiperbólica, mientras que se puede llegar en tiempo finito bajo la métrica Euclidiana.

4. La mayoría de los ejemplos hasta ahora son las propias de abrir los subconjuntos de completar Riemann colectores, pero no todos los geodesically incompleta espacio tiene esta forma. Por ejemplo, considerar la infinita cono $C=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2=z^2\text{ and }z>0\}$ bajo la norma métrica, y tenga en cuenta que el vértice $(0,0,0)$ no radica en $C$. Este espacio es incompleta, porque geodesics puede acercarse al punto de $(0,0,0)$, pero no funciona para agregar en este punto, porque el cerrado de cono $C\cup\{(0,0,0)\}$ no es un colector de Riemann.

   Las portadas de los perforado plano mencionado en el ejemplo #1 también no están abiertos los subconjuntos de completar Reimannian colectores.

La forma más básica de demostrar que una de Riemann colector $M$ es incompleta es identificar una geodésica $\gamma\colon[0,a)\to M$ que no puede ser extendida a cualquier otra. La manera de probar que $\gamma$ no puede ser extendida es mostrar que $\lim_{t\to a} \gamma(t)$ no existe en $M$.

Por el Hopf-Rinow teorema, usted también puede demostrar que $M$ es geodesically incompleta demostrando que $M$ es incompleta como un espacio métrico. Por lo tanto, usted también puede mostrar que $M$ es geodesically incompleta mediante la demostración de una secuencia de Cauchy que no convergen, o mediante la demostración de que algunos cerrado y limitado subconjunto de $M$ en no compacto.

Answer 2

La ecuación de una geodésica es sólo una ODA con un valor inicial. El clásico de Picard-Lindelöf teorema da la existencia de un máximo de solución (que se define a partir de la 0 a t_+). Así, por ejemplo, si usted puede demostrar que algunos "energía" (por ejemplo, la L^2 la integral de la derivada de 0 a t_+) es finito, entonces t_+=\infty.