Funcional de la Raíz Cuadrada de la Suma de Dígitos?

Question

Definir $\text{sdig}(n)$ a la suma de los dígitos decimales de $n$ donde $n$ es un entero positivo. Mi pregunta es la siguiente:

¿Existe una función de $h:\mathbb Z^+\mapsto\mathbb Z^+$ tal que $$(h\circ h)(n)=\text{sdig}(n)$$ para todos los $n\in\mathbb Z^+$? Es decir, ¿existe un funcional de la raíz cuadrada de la suma de dígitos de la función?

Hasta ahora, este problema ha dejado perplejos a mí. He demostrado que si ese $h$ existe, se deben de viajar con la suma de dígitos de la función. También he demostrado que si $S_a$ es el conjunto de números cuya suma de dígitos es $a$, entonces para todos los $a$, existe alguna $b$ de manera tal que la función de $h$ mapas de todos los elementos de a $S_a$ a los elementos de $S_b$. Sin embargo, si estos descubrimientos conducen a la construcción de una función o de la prueba de su inexistencia, no sé.

Alguna idea?

Answer 1

Creo que se puede por la construcción de la $h(n)$ hasta por las sumas de dígitos. Parece natural para establecer $h(n)=n$$n \lt 10$. Ahora usted puede dejar a $h(n)=\operatorname{sdig}(n)$ si $10 \le 10\le 18$. Entonces podemos permitir $h(n)=\operatorname{sdig}(n)+9$ si $\operatorname{sdig}(n)\le 9$ El primer valor aún no hemos representaron el es $h(19)$. Si $h(19)=a,$ necesitamos $h(a)=10$ y, a continuación, necesitamos $h(h(a))=1$, así que empezamos un cómodo $a$ como $100$ y establezca $h(19)=100$. Ahora podemos establecer $h(n)=100$ si $\operatorname{sdig}(n) = 10$. El siguiente que necesitamos para manejar es $h(29)$. De nuevo, si $h(29)=b,$ necesitamos $h(b)=11$$h(h(b))=2$, lo $\operatorname{sdig}(b)=2$. Podemos establecer $h(n)=101$ si $\operatorname{sdig}(n) = 11$. Creo que usted simplemente puede seguir construyendo $h(n)$ de los dígitos sumas de esta manera. Tenemos dos tablas $$\begin {array} {r |r}n&h(n)\\ \hline 1-9&n\\10-18&n-9 \end {array}$$
$$\begin {array} {r |r}\operatorname{sdig}(n)&h(n)\\ \hline 1-9&\operatorname{sdig}(n) \\10-19&\operatorname{sdig}(n)+90 \\20-99&\operatorname{sdig}(n)+900 \end {array}$$ Ahora bien, si tenemos un número $k$ con la suma de los dígitos $19$ necesitamos $h(h(k))=19$ $h(k)$ necesidades de un dígito de la suma de $10$. $109$ funciona bien y se puede extender la fila inferior de la tabla para cubrir $\operatorname{sdig}(n)$$19$. Debido a $h(20)=11$ dondequiera que enviar dígitos sumas de $20$ tiene que tener una suma de dígitos de $11$. $920$ se parece a un número bonito y se puede añadir una línea a la tabla. Por suma de dígitos de $30$ tenemos $h(30)=12$, por lo que tenemos que enviar a un lugar que tiene una suma de los dígitos de $12$. Observamos que podemos extender la línea de fondo para cubrir los dígitos de la suma de hasta $99$. Parece claro que podemos seguir adelante.