Encuentre el valor siguiente

Question

Dejemos que $a,b,c$ sean las raíces de la ecuación $$8x^{3}-4x^{2}-4x+1=0$$

Encuentre $$\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}$$

Es sólo para compartir una nueva idea, gracias:)

Answer 1

Si $a,b,c$ son las raíces de $p(x)=8x^3-4x^2-4x+1$ entonces $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ son las raíces de $$ q(x) = x^3-4x^2-4x+8 $$ Así que..: $$ \frac{1}{a^3} = \frac{4}{a^2}+\frac{4}{a}- 8 $$ y: $$\sum_{cyc}\frac{1}{a^3}=4\sum_{cyc}\frac{1}{a^2}+4\sum_{cyc}\frac{1}{a}-24$$ entonces Teorema de Viète aplicado a $q(x)$ da: $$\sum_{cyc}\frac{1}{a^3}=4(4^2-2\cdot(-4))+4(4)-24 = \color{red}{88}.$$

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Con un poco de experiencia, uno puede reconocer $p(x)$ como el polinomio mínimo de $\alpha=-\cos\frac{2\pi}{7}$ cuyos conjugados son $-\cos\frac{4\pi}{7}$ y $-\cos\frac{6\pi}{7}$ . De este modo, el problema equivale a demostrar una identidad trigonométrica no tan difícil.

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Otro truco muy bueno es el siguiente: dado $p(x)=\left(1-\frac{x}{a}\right)\left(1-\frac{x}{b}\right)\left(1-\frac{x}{c}\right)$ , $$ \log p(x) = \sum_{cyc}\log\left(1-\frac{x}{a}\right) = -\sum_{cyc}\left(\frac{x}{a}+\frac{x^2}{2a^2}+\frac{x^3}{3a^3}+\ldots\right) $$ por lo que $\sum_{cyc}\frac{1}{a^3}$ es menos tres veces el coeficiente de $x^3$ en la serie Taylor de $\log p(x)$ en un barrio de $x=0$ o: $$ \sum_{cyc}\frac{1}{a^3} = -\frac{1}{2}\left.\frac{d^3}{dx^3}\log p(x)\right|_{x=0}, $$ y sólo tenemos que evaluar: $$\frac{\left(4+8 x-24 x^2\right)^3}{\left(1-4 x-4 x^2+8 x^3\right)^3}+\frac{3 (-4+24 x) \left(-4-8 x+24 x^2\right)}{\left(1-4 x-4 x^2+8 x^3\right)^2}-\frac{24}{1-4 x-4 x^2+8 x^3} $$ en $x=0$ para conseguir $4^3+3\cdot 4^2-24=\color{red}{88}$ igual que antes.

Answer 2

Una forma sistemática de calcular sumas de la forma $a^{-k} + b^{-k} + c^{-k}$ es utilizando Las identidades de Newton .

Aviso $$\begin{align} a, b, c \text{ roots of } p(x) &= 8x^3 - 4x^2 - 4x + 1\\ \implies\quad \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \text{ roots of } q(x) &= x^3 p(\frac{1}{x}) = x^3 - \color{red}{4} x^2 - \color{green}{4}x + \color{blue}{8} \end{align} $$

Dejemos que $p_k = a^{-k} + b^{-k} + c^{-k}$ para $k = 1,2,3$ . Las identidades de Newton nos dicen:

$$\begin{cases} p_1 - \color{red}{4} \times 1 &= 0\\ p_2 - \color{red}{4} p_1 - \color{green}{4}\times 2 &= 0\\ p_3 - \color{red}{4} p_2 - \color{green}{4} p_1 + \color{blue}{8}\times 3 &= 0 \end{cases} \quad\implies\quad \begin{cases} p_1 &= 4\\ &\;\Downarrow\\ p_2 &= 4\times \underbrace{4}_{p_1} + 4\times 2 = 24\\ &\;\Downarrow\\ p_3 &= 4\times \underbrace{24}_{p_2} + 4\times \underbrace{4}_{p_1} - 8\times 3 = 88 \end{cases} $$

Answer 3

Se ha observado por otros que los recíprocos $x_i$ $(1\leq i\leq 3)$ de $a$ , $b$ , $c$ son las soluciones de la ecuación $$x^3-4x^2-4x+8=0\ .\tag{1}$$ La suma de poderes $$p_3:=x_1^3+x_2^3+x_3^3={1\over a^3}+{1\over b^3}+{1\over c^3}$$ es una función simétrica del $x_i$ . Por lo tanto, se puede expresar como un polinomio en términos de las funciones elementales $\sigma_j$ $(1\leq j\leq 3)$ de la $x_i\,$ : Se puede comprobar fácilmente que $$x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)+3x_1x_2x_3\ ,$$ o $$p_3=\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3\ .$$ Ahora $(1)$ y el teorema de Vieta nos dicen que $$\sigma_1=4,\quad \sigma_2=-4,\qquad \sigma_3=-8\ .$$ De ello se desprende que $$p_3=64-3\cdot4\cdot(-4)+3\cdot(-8)=88\ .$$