Si una matriz tiene una inversa, entonces la transposición también tiene una inversa

Question

Solo tengo una simple pregunta.

"Si una matriz$A$ tiene una inversa, entonces la transposición$A^T$ también tiene una inversa".

Creo que la afirmación es 'verdadera'.

Porque

$ AA ^ {- 1} = I \\ (AA ^ {- 1}) ^ {T} = I ^ T \\ (AA ^ {- 1}) ^ T = I \\ (A ^ {- 1} ) ^ TA ^ T = I \\ $

ya que$(A^{-1})^TA^T=\operatorname{Id}$,$A^T$ tiene un inverso (que es$(A^{-1})^T$).

¿Es correcto?

Answer 1

Si esta correcto. La afirmación es verdadera (no solo "verdadera" como escribiste). Al final, en lugar de escribir "ya que$A^{-1}$ existe,$(A^{-1})^T$ también existe", habría escrito que, ya que$(A^{-1})^TA^T=\operatorname{Id}$,$A^T$ tiene una inversa (que es$(A^{-1})^T$).

Answer 2

Si y no. Una prueba requiere una referencia al hecho de que si$AC = CA = I$, entonces$A$ no es singular, y$A^{-1} = C$.

Por definición, tienes$AA^{-1} = A^{-1}A = I$. La regla de transposición, es decir,$(AB)^T = B^T A^T$, ahora implica que$$I = I^T = (AA^{-1})^T = (A^{-1})^T A^T = (A^{-1}A)^T = A^T (A^{-1})^T.$ $

Ahora se sigue que$A^T$ no es singular con el inverso$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$.

Si bien la conexión puede ser obvia para usted, desconfíe de las declaraciones escritas sin conectores lógicos explícitos, como los símbolos de implicación / biimplicación.

Answer 3

Este resultado sigue esencialmente por la singularidad de la inversa de una matriz. Si$U\cdot X= I$ entonces$U=X^{-1}$. De hecho, \begin{align} \left. \begin{array}{c} U\cdot X=I\\ X^{-1}\cdot X=I\\ \end {array} \ right \} \ implica & U \ cdot X- X ^ {- 1} X = 0 \\ \ implica & (UX ^ {- 1}) \ cdot X = 0 \\ \ implica & (UX ^ {- 1}) \ cdot X \ cdot X ^ {- 1} = 0 \ cdot X ^ {- 1} \\ \ implica & (UX ^ {- 1}) \ cdot I = 0 \\ \ implica & UX ^ {- 1} = 0 \\ \ implica & U = X ^ {- 1} \ end {align}