Demostrar

Question

Demuestre que, para todos los números reales positivos$x$,$y$ y$z$,$$4(x + y + z)^3 > 27(x^2y + y^2z + z^2x)$ $

He intentado expresarlo como una suma de cuadrados, pero no he llegado a ninguna parte.

Las sugerencias también son bienvenidas.

Answer 1

Esta es una desigualdad bien conocida, en realidad es una desigualdad de Vacs si está familiarizado con el Arte de la resolución de problemas. Aquí está la prueba:

Dejemos$z\le y \le x$, entonces tenemos:

PS

Ahora para el lado derecho:

PS

Ahora de AM-GM tenemos:

$$(y-x)(y-z) \le 0 \implies y^2 - xy - zy + xz \le 0 \implies y^2 + nz \le xy + zy$ $$$27(x^2y + y^2z + z^2x + xyz) = 27( z(y^2 + zx) + x^2y + xyz) \le 27 (z(xy + zy) + x^2y + xyz) = 27 ( 2xyz + z^2y + x^2y) = 27y(2xz + x^2 + z^2) = 27y(x+z)^2 = 4 \cdot 3^3y\left(\frac{x+z}{2}\right)\left(\frac{x+z}{2}\right)$ $

Entonces tenemos:

PS

De ahí la prueba. Como puede observar, esta desigualdad es aún más fuerte, porque$$y + \frac{x+z}{2} + \frac{x+z}{2} \ge 3 \sqrt{y\left(\frac{x+z}{2}\right)\left(\frac{x+z}{2}\right)}$

Answer 2

Si$x,y,z>0$, entonces$$x(2x-4y-z)^2+y(2y-4z-x)^2+z(2z-4x-y)^2\gt 0$ $

Reorganizar da la desigualdad requerida.

Answer 3

WLOG, deje que$x$ sea el más pequeño,$y= a+x$ y$z = b+x$ para$a, b \ge 0$. Entonces tenemos$$4(x + y + z)^3 - 27(x^2y + y^2z + z^2x) = 27x^3+27(a+b)x^2+9(a+b)^2x + (a-2b)^2 (4a+b)>0$ $