La secuencia $(-1)^n\binom{\alpha-1}{n}$ converge.

Question

Necesito demostrar que para $n \in \mathbb N_0$ y $\alpha \ge 0$ la secuencia $(-1)^n\binom{\alpha-1}{n}$ converge.

Se puede demostrar que la secuencia converge a cero utilizando un teorema que afirma que $|\binom{\alpha}{n}| \sim \frac{c}{n^{1+\alpha}}$ para un $c \in \mathbb R$ y $\alpha \in \mathbb R \setminus \mathbb N$ . Pero me pregunto si hay una prueba directa.

Answer 1

Un enfoque general es considerar la convergencia de las series binomiales relacionadas y deducir que el término general converge a $0$ . Sin embargo, aquí tenemos el caso más problemático en el punto final $x = -1$ del intervalo de convergencia.

Considere el término general

$$a_n = (-1)^n\binom{\alpha}{n}.$$

Utilizando la inducción podemos demostrar que

$$\sum_{n=0}^ma_n = \prod_{n=1}^m\left(1 - \frac{\alpha}{n}\right).$$

Por ejemplo,

$$1 - \binom{\alpha}{1} + \binom{\alpha}{2} = 1 - \alpha + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2} \\ = 1 - \frac{3\alpha}{2} + \frac{\alpha^2}{2} \\ = \left(1 - \frac{\alpha}{1}\right)\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right)$$

Dado que la serie armónica $\sum (1/n)$ diverge, podemos demostrar que tanto el producto como la serie $\sum a_n$ convergen.

Con $\alpha > 0$ fijo, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $0 < \alpha /n < 1$ para $n > N$ . Por lo tanto,

$$1 - \frac{\alpha}{n} \leqslant \exp\left(-\frac{\alpha}{n} \right),$$

y

$$0 < \prod_{n=N+1}^m\left(1 - \frac{\alpha}{n}\right) \leqslant \exp \left(-\alpha\sum_{n=N+1}^m \frac{1}{n}\right).$$

En el límite como $m \to \infty$ tenemos

$$\prod_{n=N+1}^\infty\left(1 - \frac{\alpha}{n}\right) = 0$$

Por lo tanto, para $\alpha > 0,$

$$\sum_{n=0}^\infty a_n < \infty,$$

y

$$\lim_{n \to \infty}(-1)^n\binom{\alpha}{n} = 0.$$

Este argumento también sirve para demostrar que si $\alpha > 1$ entonces $$\lim_{n \to \infty}(-1)^n\binom{\alpha-1}{n} = 0$$