¿Es esta matriz una raíz del polinomio dado?

Question

La cuestión es si una matriz dada $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & c & d\\ 0 & 2 & e & f \\ 0 & 0 & 3 & g \\ 0 & 0 & 0 & 4\\ \end{pmatrix} $$ satisface $f(A) = A^2 - 5A +4I=0$ ?

Mi intento fue utilizar el teorema de Cayley-Hamilton $$ \Delta(\lambda)=\Pi_{k=1}^4(\lambda - k)^4 = (\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda^2-5\lambda+4)=0. $$ Entonces $$ \Delta(A) = (A-2)(A-3)(A^2-5A+4)=(A-2)(A-3)f(A)=0. $$ Pero en general no significa que $f(A)$ es $0$ . Además, mediante algunos ejemplos numéricos veo que en general $f(A)\neq0$ . ¿Hay algún teorema o consecuencia que se me escape?

Answer 1

La respuesta es no, porque si $f(A)=0$ entonces $f$ sería un múltiplo del polinomio mínimo de $A$ . Sin embargo, esta matriz tiene $4$ valores propios simples: $1, 2, 3, 4$ por lo que su polinomio mínimo tiene grado $4$ y no puede dividir un polinomio cuadrático.

Answer 2

Podemos simplemente calcular el elemento $b_{2,2}$ de la matriz resultante $(b_{i,j})=A^2-5A+4I$ . Tenemos $$b_{2,2}=2^2-5\cdot 2 + 4=-2 \not = 0.$$

Answer 3

Podemos proceder por el método de la contradicción. Supongamos que $f(A) = A^2 - 5A + 4I$ aplicando Trace a ambos lados vemos que

$\operatorname{Trace}(A^2) = 30$ , $\operatorname{Trace}(A) = 10$

así $\operatorname{Trace}(A^2 - 5A + 4I) = \operatorname{Trace} (A^2) - 5\cdot\operatorname{Trace} (A) + 4\cdot\operatorname{Trace} (I)$

Vemos $\operatorname{Trace}(A^2 - 5A + 4I) = -16$ pero $\operatorname{Trace}(f(A)) = 0$ de la definición de $f(A)$ y, por tanto, una contradicción

Espero que esto ayude.