Estoy interesado en encontrar una operación por la cual un número natural se convierta en un grupo. No puedo pensar en ninguna.
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Simone Masiero
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Hay muchos de ellos. Mi favorito es el agregado de Nimber , también conocido como bitwise exclusivo o. De hecho, incluso hay una operación de multiplicación correspondiente que convierte a los nimbers finitos en un campo cerrado cuadráticamente.
Por supuesto, también hay un montón de aburridas basadas en bijections entre ℕ y cualquier grupo de tamaño$\aleph_0$, como$\mathbb{Z}$ o$\mathbb{Q}$ o$\mathbb{A}$.
Dark Shikari
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Cada grupo contable de los elementos induce una estructura de grupo en $\mathbb{N}$. Asume que $(A,+,0,-)$ es un grupo y $A=\{a_1, a_2, \ldots\}$ es contable, w.l.o.g $a_1=0$$f(a_n)=n$$f^{-1}(n)=a_n$, a continuación, definimos una adición $\oplus$ $\mathbb{N}$ por
$$n\oplus m:=f(a_n+a_m)$$ y un elemento neutro $$\circledcirc:=f(a_1)$$ y a la inversa $$\ominus n:=f(-a_n)$$
Así, por ejemplo, $(\mathbb{Z}, +, 0, -)$ es un grupo. $$f(1)=0\\ f(2n)=n\\ f(2n+1)=-n$$
así que para el $\mathbb{N}$ tenemos las siguientes
El elemento neutro es$1$, por lo que $$n\oplus1=n$$ Te adición se define por $$2m \oplus 2n=2(m+n)$$ $$(2m+1)\oplus(2n+1)=2(m+n)+1$$ $$(2m+1)\oplus2n=2(n-m), \text{if} \;n>m$$ $$(2m+1)\oplus2n=2(m-n)+1, \text{if} \;n\le m$$ tenemos $$\ominus (2n)=2n+1$$ $$\ominus (2n+1)=2n$$
Benjamin
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La respuesta precisa depende de si los números naturales incluyen el cero, pero una operación de ese tipo existe de cualquier manera. Si los números naturales incluyen el cero, entonces como dice Simone nimber además de las obras; la inversión de la operación es la identidad en este caso. Si adoptamos una definición que no incluye el cero, entonces nimber multiplicación califica. Ver aquí para una teoría basada en la definición de ambas operaciones.
peterh
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