Otro problema de análisis más complejo.

Question

Necesito ayuda con el cálculo de una integral. Mi motivación es entender de una manera estándar para construir el holomorphic funcional de cálculo para los operadores no acotados, a pesar de que la pregunta podría ser, probablemente, una tarea problema en un análisis complejo de la clase. De todos modos, aquí va.

Deje $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ ser el complemento del conjunto a $\{iy: y \geq 1, y \leq -1\}$. Deje $\Gamma$ ser el contorno descrito por la ecuación de $y^2 - x^2 = \frac{1}{4}$, cuya "mitad superior" está orientada de izquierda a derecha y de cuya "mitad inferior" está orientada de izquierda a derecha. (La ecuación exacta de $\Gamma$ no debería ser importante, sólo la forma general y la orientación). Elegir la rama de la holomorphic función de $(1 + z^2)^{-1/2}$ $\Omega$ que toma el valor de$+1$$z = 0$. Yo quiero probar:

$$\frac{1}{(1+z^2)^{1/2}} = \frac{-1}{2 \pi i} \int_\Gamma \frac{1}{(z - w)(1 + w^2)^{1/2}} dw$$

No se sienta obligado a trabajar todos los detalles en su respuesta - yo realmente debería ser capaz de hacer esto por mi cuenta...

Answer 1

Primero, muestre que$f(z)=\frac{1}{(1+z^2)^{1/2}}$ es holomorfo (analítico) en el conjunto$\Omega$. Luego aplique la fórmula integral de Cauchy en$f(z)$:$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z}dw$ $

Answer 2

Como en la pregunta original, vamos a $\Gamma$ ser el contorno descrito por la ecuación de $y^2-x^2=1/4$ cuya parte superior está orientado a la derecha-a-izquierda y cuya parte inferior está orientada de izquierda a derecha. Vamos a llamar a la región entre estas dos curvas de la región interior a $\Gamma$.

Deje $k > 0$ y deje $C_k = \Gamma_k + \Delta_k^+ + \Delta_k^-$ ser cerrado el contorno de cuyos componentes se define por

$$\begin{align} \Gamma_k &= \{x+iy \colon y^2-x^2=1/4 \text{ and } |x| \leq k\}, \\ \Delta_k^+ &= \left\{k+iy \colon |y| \leq \sqrt{k^2+1/4}\right\}, \\ \Delta_k^- &= \left\{-k+iy \colon |y| \leq \sqrt{k^2+1/4}\right\}, \\ \end{align}$$

la cual está orientada como en la siguiente imagen.

Para cualquier $k>0$ la función de $f(z) = (1+z^2)^{-1/2}$ es analítica interior a $C_k$, por lo que de Cauchy de la integral de la fórmula nos dice que, para $z$ interior $C_k$,

$$\begin{align} \frac{1}{(1+z^2)^{1/2}} &= \frac{1}{2 \pi i} \int_{C_k} \frac{dw}{(w-z)(1 + w^2)^{1/2}} \\ &= \frac{1}{2 \pi i} \left(\int_{\Gamma_k}g(w,z)\,dw + \int_{\Delta_k^+}g(w,z)\,dw + \int_{\Delta_k^-}g(w,z)\,dw\right), \end{align} \etiqueta{1}$$

donde $g(w,z) = (w-z)^{-1} (1+w^2)^{-1/2}$. Tenga en cuenta que para cualquier $z$ interior $\Gamma$, $z$ será interior a $C_k$ al $k$ es lo suficientemente grande.

Vamos a mostrar que la integral sobre la $\Delta_k^+$$0$$k \to \infty$. El cálculo de la integral sobre $\Delta_k^-$ es idéntico.

De hecho, hemos

$$\begin{align} \left|\int_{\Delta_k^+}g(w,z)\,dw\right| &\leq L(\Delta_k^+) \cdot \sup_{w \in \Delta_k^+} |g(w,z)| \\ &\leq 2 \sqrt{k^2+1/4} \cdot \frac{1}{(k-\text{Re}(z))\sqrt{1+k^2}} \\ &= O\left(\frac{1}{k}\right). \end{align}$$

Desde $(1)$ mantiene para cualquier $z$ interior $\Gamma$ al $k$ es lo suficientemente grande, podemos dejar que la $k \to \infty$. Debido a $\lim_{k \to \infty} C_k = \Gamma$, obtenemos

$$\begin{align} \frac{1}{(1+z^2)^{1/2}} &= \frac{1}{2 \pi i} \cdot \lim_{k \to \infty} \left(\int_{\Gamma_k}g(w,z)\,dw + \int_{\Delta_k^+}g(w,z)\,dw + \int_{\Delta_k^-}g(w,z)\,dw\right) \\ &= \frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma} \frac{dw}{(w-z)(1 + w^2)^{1/2}} \end{align}$$

para todos los $z$ interior $\Gamma$.