Encontrar todas las soluciones de enteros no negativos en$x_1+x_2+x_3+...+x_6=20$ de modo que$x_{2n+1} \le x_{2n+2}$ para$0 \le n \le 2$

Question

Solucionar $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=20$ tal que $x_{2n+1}\leq x_{2n+2}, 0\leq n \leq2$

Edit : he resuelto.

Deje $0 \le a,b,c \le 20$ tal que $0 \le a+b+c \le 20$

$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=20 \;\ x_{2n+1}\leq x_{2n+2}\\ \implica x_2=x_1+a,\;x_4=x_3+b,\;x_6=x_5+c\\ \implica 2(x_1+x_2+x_3)+a+b+c=20\\ \implica 2(x_1+x_2+x_3)=20-a-b-c\;\;\;(1)$

Así que ahora necesitamos para valores fijos de $a,b,c$ encontrar el número de enteros no negativos soluciones a la ecuación de $(1)$

Ahora, para todos los $0 \le i \le 20 $

Deje $A_i$ ser el conjunto de todos no negativos soluciones para $a+b+c=i$

Deje $X_i$ ser el conjunto de todos no negativos soluciones para $2(x_1+x_2+x_3)=20-i$

Ahora,

$2(x_1+x_2+x_3)=20-i \implies (x_1+x_2+x_3)= \frac{20-i}{2}$

Y ya que estamos interesante en enteros no negativos, podemos decir que

$20-i\nmid 2 \implies X_i=\emptyset \implies |X_i|=0\;\;\;(2)$

De lo contrario,

Si $i$ es aún queremos calcular

$\left|A_i\right|\cdot \left|X_i\right|$ porque para cualquier solución a+b+c=i $A_i$ no es la solución correspondiente en $X_i$

Por lo tanto tenemos:

$\sum _{i=0}^{20}\:\left(\left|A_i\right|\cdot \left|X_i\right|\right)=\sum _{i=0}^{20}\:\begin{pmatrix}i+3-1\\ \:i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10-i+3-1\\ \:10-1\end{pmatrix}\\ \text{and from (2)}\\\sum _{i=0}^{20}\:\begin{pmatrix}i+3-1\\ \:i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10-i+3-1\\ \:10-1\end{pmatrix}= \sum \:_{i=0}^{10}\:\begin{pmatrix}2i+3-1\\ \:\:2i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10-i+3-1\\ \:\:10-i\end{pmatrix}=\\ \sum _{i=0}^{10}\:\left(\frac{\left(2i+2\right)\left(2i+1\right)}{2}\right)\left(\frac{\left(12-i\right)\left(11-i\right)}{2}\right)=9009$

Y tenemos un palíndromo.

Answer 1

He verificado su solución de una manera diferente:

Deje $N(i)$ denotar el número de maneras de $x_{1}+x_{2}=i$$x_{1}\leq x_{2}$. Es fácil mostrar que $N(i)=\lfloor\frac{i}{2}\rfloor+1$$0\leq i$.

El problema ahora se reduce a calcular la siguiente suma:

$\sum_{(k_{1},k_{2},k_{3})\in K}N(k_{1})\cdot N(k_{2})\cdot N(k_{3})$

donde $K=\{(k_{1},k_{2},k_{3}):k_{1}+k_{2}+k_{3}=20,\ k_{i}\geq 0\}$, es decir, el conjunto de pares ordenados de tres enteros no negativos sumando a 20.

Después de un poco de suma-manipulación obtenemos el equivalente de la suma:

$\sum_{k_{1}=0}^{20}N(k_{1})\sum_{k_{2}=0}^{20-k_{1}}N(k_{2})\cdot N(20-(k_{1}+k_{2}))$

Ahora lanzan la elegancia a la acera, escriba la suma en Mathematica, y obtener 9009 $\checkmark$.