Prueba de que$e^{i\pi} = -1$

Question

Cuando descubrí por primera vez que$e^{i\pi} = -1$, me quedé impresionado. ¿Alguien aquí sabe una de las muchas pruebas de esta ecuación fenomenal? Puedo realizar todo el álgebra para obtener el$-1$. Pero, ¿de dónde viene esto? ¿Cuál es la derivación?

Answer 1

Aquí hay una derivación hábil. Dejar $f(x)= e^{-ix}(\cos x + i\sin x)$. Tomando el derivado tenemos que$f'(x) = -ie^{-ix}(\cos x + i \sin x) + e^{-ix}(-\sin x + i\cos x) = 0$ para que$f(x)$ sea constante. Pero$f(0) = e^0(1 + 0) = 1$ así que$f \equiv 1$ así que$e^{ix} = \cos x + i \sin x$. Al insertar$x = \pi$ se obtiene el resultado.

Observación: esta prueba es muy hermosa y utiliza la propiedad característica de todo lo involucrado ($e^x$ es la única función no trivial que es su propia derivada,$i$ cuadrados a$-1$, etc.), pero Como primera vez, la prueba de la serie de Taylor me dijo mucho más.

Answer 2

La identidad es un caso especial de la fórmula de Euler a partir de análisis complejo, el cual establece que

$e^{ix}$=$\cos x+i\cdot\sin x$

para cualquier número real $x$. (Tenga en cuenta que las variables de las funciones trigonométricas seno y coseno son en radianes, no en grados). En particular, con $x = \pi$, o una media vuelta alrededor del círculo:

$e^{i\pi}$=$\cos\pi+i\cdot\sin\pi$

Desde

$\cos\pi=-1$

y

$\sin\pi=0$

de ello se sigue que

$e^{i\pi}$ =$-1+0i$

lo que da la identidad

$e^{i\pi}$$+1=0$

La explicación física de la identidad de Euler es que puede ser visto como el grupo-definición teórica del número de $\pi$. La siguiente discusión es en el plano físico, pero se puede hacer matemáticamente estricto. El grupo es el grupo de rotaciones de un avión de alrededor de 0. De hecho, uno puede escribir:

$e^{i\pi}$=$(e^{i\delta})^{\pi/\delta}$

con $\delta$ un ángulo pequeño. La última ecuación puede ser visto como la acción de consecutivos de pequeños cambios a lo largo del círculo causada por la aplicación de rotaciones infinitesimales, empezando en 1 y va por el total de la longitud del arco que une los puntos 1 y -1 en el plano complejo. De hecho, cada pequeño cambio puede ser escrito como la multiplicación por

$1+i\delta$

y el número total de turnos es π/δ. Con el fin de obtener de 1 a -1, la transformación total sería

$(1+i\delta)^{\pi/\delta}$

Ahora, tomando el límite cuando $\delta \to0$, denotando $i\delta = 1/n$ y el uso de la definición de:

$e$=$\lim\limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$

llegamos a la identidad de Euler. El $\pi$ sí está definido como el ángulo total que conecta $1$ $-1$a lo largo del arco.

Resumiendo, podemos decir que debido a que el círculo puede ser definido a través de la acción del grupo de las rotaciones que conservar la distancia entre un punto y otro punto, la relación entre pi y e se presenta. Este simple argumento es la clave para el entendimiento de otras aparentemente milagrosa de las relaciones entre el $π$$e$.

Fuente: Wikipedia

Answer 3

$$e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ix)^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ix)^{2k+1}}{(2k+1)!}=$ $$$=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=$ $$$=\cos x+i\sin x$ $ desde$$i^{2k}=(-1)^k,i^{2k+1}=i(-1)^k$ $ para$x=\pi$ obtenemos$$e^{i\pi}=\cos (\pi)+i\sin(\pi)=-1$ $

Answer 4

1) La definición de las competencias, $a^b$ donde $b$ es arbitraria racional número y $a>0$ se deriva de las propiedades algebraicas de los exponentes de los exponentes enteros positivos.

2) La definición de las competencias, $a^b$ donde $b$ es un número real arbitrario y $a>0$ se define como el límite de potencias con exponentes racionales: Elegir una secuencia de números racionales $q_n\to b$, y deje $a^b=\lim a^{q_n}$. (Hay varias cosas para probar aquí para mostrar esto tiene sentido, pero todo ok).

3) Por el valor determinado $b=e$, se obtiene la función de $\exp (x)=e^x$. Esta función es infinitamente diferenciable con $\exp '(x)=\exp (x)$. Así la expansión de Taylor es particularmente agradable (y conocida).

4) El radio de convergencia de la expansión de Taylor de $\exp$ se muestra a $\infty $ y la convergencia de todas partes a $\exp(x)$. Por lo tanto, cualquier número complejo puede ser conectado a ella, y por lo $\exp(z)$ está definida para todos los números complejos.

5) Las funciones trigonométricas $\sin$ $\cos$ puede ser definido de la siguiente manera: El punto de $(\cos x,\sin x)$ es que el punto en el círculo unitario en el $X-Y$ plano que forma un ángulo de $x$ radianes con el positivo de la $X$-eje (medición de la $X$-eje en sentido antihorario).

6) a partir De consideraciones geométricas se puede demostrar que estos trigonomerric funciones infinitamente diferenciables, con sus familiares derivados, y con sus familiares expansiones de Taylor.

7) Las expansiones de Taylor tienen infinitas radio de convergencia, y converge en todas partes a sus respectivos sructures. Por lo tanto $\sin z$ $\cos z$ están definidas para todos los números complejos.

8) Por la teoría general de energía de la serie, las tres series mencionadas anteriormente pueden ser manipulados mucho como poder finito de la serie (orden de la suma de los cambios sin afectar el resultado, etc.).

9) Cuando conecte $\pi i$ en el poder de expansión de la serie de $\exp$, por lo tanto computing $e^{\pi i}$, se puede demostrar que (este es un buen ejercicio) que: $$e^{\pi i}=\cos \pi + i\cdot \sin \pi.$$

10) Lo $e^{\pi i}=-1$.

Observación: los tratamientos Más modernos de la trigonométricas y exponenciales funciones, a fin de evitar innecesarias sutiles consideraciones geométricas y la limitación de lío, definir estas funciones a través de sus expansiones de Taylor.

Answer 5

Hay una buena prueba en Stack Overflow: http://mathoverflow.net/questions/51283/rigourous-proof-of-eulers-identity