$$
\newcommand{\cy}[1]{\,\lvert{#1}\rangle}
\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}\rvert\,}
\newcommand{\braket}[2]{\langle{#1}\vert{#2}\rangle}
\newcommand{\soporte}[3]{\langle{#1}\vert{#2}\vert{#3}\rangle}
\newcommand{\op}[1]{\hat{#1}}
$$
La solución debería ser muy sencillo de la aplicación de la que Nace la regla.
En este caso en particular, tenemos una auto-adjunto del operador $\op{L_z}$ con funciones propias y valores propios de satisfacciones
$$
\op{L_z} \psi_l(\theta) = l \manejadores \psi_l(\theta) \, ,
\quad \text{donde} \quad
\psi_l(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} l \theta}
\quad \text{y} \quad
l = 0, \pm 1, \2 pm, \dotsc
$$
de tal manera que cualquier función de onda $\psi$ puede ser expandido a través de la base ortonormales $\{ \psi_l(\theta) \}_{l=-\infty}^{\infty}$ de las correspondientes funciones propias de $\op{L_z}$ el siguiente,
$$
\psi(\theta)
=
\sum\limits_{l=-\infty}^{\infty} c_l \psi_l(\theta) \, ,
\quad \text{donde} \quad
c_l
=
\braket{\psi_l}{\psi}
=
\int\limits_{0}^{2 \pi} \psi_l^*(\theta) \psi(\theta) \mathrm{d} \theta \, .
$$
Y de la medición en un sistema arbitrario del estado de $\psi$ puede producir cualquiera de los autovalores $l \hbar$ con una probabilidad dada de la siguiente manera
$$
\Pr(l \manejadores) = |c_l|^{2} = c_l^* c_l \, .
$$
Ahora, desde la $\psi(\theta)$ se define como
$$
\psi(\theta)
=
\begin{cases}
\frac{1}{\sqrt{\pi}} & \text{if} \quad \theta \in [0, \pi] \\
0 & \text{if} \quad \theta \in [\pi, 2 \pi]
\end{casos} \, ,
$$
el coeficiente de $c_l$ es igual a
$$
c_l
=
\int\limits_{0}^{2 \pi} \psi_l^*(\theta) \psi(\theta) \mathrm{d} \theta
=
\int\limits_{0}^{\pi} \psi_l^*(\theta) 1/\sqrt{\pi} \mathrm{d} \theta
+
\int\limits_{\pi}^{2 \pi} \psi_l^*(\theta) 0 \mathrm{d} \theta \, ,
$$
donde el segundo término trivialmente se desvanece conduce a
$$
c_l
=
\int\limits_{0}^{\pi}
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} l \theta} \frac{1}{\sqrt{\pi}}
\mathrm{d} \theta
=
\int\limits_{0}^{\pi}
\frac{1}{\sqrt{2} \pi} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} l \theta}
\mathrm{d} \theta \, .
$$
Y, a continuación, algunos simple álgebra conduce a la respuesta final, que dejo a la OP, ya que está muy en la noche para mí y me temo que me va a hacer un montón de errores estúpidos.
