¿Es esta suma de 2 logaritmos irracionales diferentes irracionales:$\log_2(3)+\log_3(2)$?

Question

Estoy teniendo algunos problemas para probar que la siguiente suma es irracional o racional:

PS

Esto es todo lo que tengo por ahora:

$$\log_2(3)+\log_3(2)$ para$\log_2(3)=\frac mn \iff 2^{\frac mn}=3 \iff 2^m=3^n$ = irracional.

$\log_2(3)$ para$\log_3(2)=\frac qr \iff 3^{\frac qr}=2 \iff 3^q=2^r$ = irracional.

Ahora tengo problemas para demostrar que$\log_3(2)$ es irracional. Sé que la suma de dos números irracionales no es directamente irracional. Además, ambos números base de los logaritmos son primos.

Answer 1

Deje $x=\log_23$. Tenga en cuenta que $\log_32=\frac1x$, por lo que si $x+\frac1x$ fueron racional tendríamos $x+\frac1x=q\in\mathbb Q$, o: $x^2-qx+1=0$, lo que significa que $x$ es un número algebraico (de grado en la mayoría de las $2$). Ahora podemos reescribir $\log_23=x$ un poco y usar un fuerte teorema, la Gelfond-Scheider teorema, para obtener una contradicción: $$2^x=3.$$ Gelfond-Schneider dice $$(\text{algebraic and not 0 or 1})^{\text{algebraic and irrational}}=\text{transcendental}.$$ Debido a $2$ es algebraica y no $0$ o $1$, $x$ es algebraica y de la irracionales, sino $3$ no es trascendental, se obtiene una contradicción.

Nota: Utilizando el mismo método podemos demostrar que $\log_23+\log_32$ es de hecho trascendental; esto es porque el campo (sí, es un campo, y que no es trivial) de números algebraicos (contenida en $\mathbb C$) $\mathbb Q$ es algebraicamente cerrado.