¿Cómo podemos calcular$\sqrt{4-\sqrt{4-\sqrt{4-\cdots}}}$? Lo es $\frac{\sqrt{17}-1}{2}$?

Question

¿Cómo podemos calcular $\sqrt{4-\sqrt{4-\sqrt{4-\cdots}}}$?

Puedo entender que si definimos $a_1=\sqrt{4}$ $a_n=\sqrt{4-a_{n-1}}$ $n>1$ lo que da (usando también con la monotonía convergente teorema de) $$\lim a_n=\frac{\sqrt{17}-1}2.$$ But we can write it as $a_1=\sqrt{4-\sqrt{4}}$ and then $a_n=\sqrt{4-\sqrt{4-\sqrt{4-a_{n-1}}}}$.

Si hay un límite de $L$ (creo que podemos utilizar monotono convergente teorema), he resuelto con Wolfram que $$L=\sqrt{4-\sqrt{4-\sqrt{4-L}}}$$ and it compute $L=\frac{\sqrt{17}-1}{2}$ de nuevo.

Pero vi especie de continuación de la fracción y da diferentes respuestas. (Juré, pero no es necesario, la búsqueda de ejemplos no son difíciles).

Hay una definición de este tipo de anidado números{?!}/límites?

Answer 1

EDIT: Esta respuesta se explica exactamente cómo se puede calcular el valor de la expresión en cuestión. Fue escrito antes una aclaración por parte de la OP que contexto matemático fue la principal intención de la pregunta, y no constituye una respuesta completa a la pregunta, como tal. Voy a dejarlo aquí porque al parecer ha sido encontrado útiles para algunos.

$A=\sqrt{4-\sqrt{4-\sqrt{4-\cdots}}}$

$A^2=4-\sqrt{4-\sqrt{4-\sqrt{4-\cdots}}}$

$\sqrt{4-\sqrt{4-\sqrt{4-\cdots}}}=4-A^2$

$A=4-A^2$

$A^2+A-4=0$

$A=\frac{-1±\sqrt{1-4(1)(-4)}}{2(1)}$

$A=\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$

Y, naturalmente, la raíz cuadrada de ser negativo es una de las soluciones extrañas, por lo que el valor es

$A=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$