Filtración y cambio de medidas

Question

Estoy leyendo "Stochastic calculus for finance II" de Steven E. Shreve, y me encuentro con que no entiendo muy bien el concepto de "filtración".

Sí, la definición de filtración es sencilla, es un conjunto de $\sigma$ -álgebra. Sin embargo, cuando se trata de la Representación de Martingale y el Teorema de Girsanov a continuación, estoy perdido en la diferente de una filtración generada por el movimiento browniano o no.

Primero es Teorema 5.3.1 (Representación Martingale, una dimensión) : Sea $W(t)$ , $0 \leq t \leq T$ sea un movimiento browniano en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathscr F, \mathbb P)$ y que $\mathscr F(t)$ , $0 \leq t \leq T$ sea la filtración generada por este movimiento browniano. Sea $M(t)$ , $0 \leq t \leq T$ sea una martingala con respecto a esta filtración (es decir, para cada $t$ , $M(t)$ es $\mathscr F(t)$ -medible y para $0 \leq s \leq t \leq T$ , $\mathbb E [M(t) | \mathscr F(s)] = M(s)$ ). Entonces existe un proceso adaptado $\Gamma(u)$ , $0 \leq u \leq T$ tal que

$$M(t) = M(0) + \int_0^t \Gamma(u) d W(u), 0 \leq t \leq T \tag{5.3.1} $$

Entonces Shreve dice, " La suposición de que la filtración en el Teorema 5.3.1 es la generada por el movimiento browniano es más restrictiva que la suposición del teorema de Girsanov de Girsanov, Teorema 5.2.3, en el que la filtración puede ser mayor que la generada por el movimiento browniano. generado por el movimiento browniano .

Si incluimos esta restricción adicional en el Teorema de Girsanov, obtenemos el siguiente corolario. El primer párrafo de este corolario no es más que una repetición del Teorema de Girsanov; la segunda parte contiene la nueva afirmación "(la parte en negrita "la filtración generada por este movimiento browniano" que destaqué más abajo, es la diferencia con respecto al Teorema de Girsanov 5.2.3 original):

Corolario 5.3.2 . Sea $W(t)$ , $0 \leq t \leq T$ sea un movimiento browniano sobre una probabilidad de probabilidad $(\Omega,\mathscr F, \mathbb P)$ y que $\mathscr F(t)$ , $0 \leq t \leq T$ , sea la filtración generada por este movimiento browniano . Sea $\Theta(t)$ , $0 \leq t \leq T$ sea un proceso adaptado, defina $Z(t) = \exp\left\{ - \int_0^t \Theta(u) d W(u) - \frac{1}{2} \int_0^t \Theta^2(u) d u \right\}$ , $\widetilde W(t) = W(t)+ \int_0^t \Theta(u) d u$ y supongamos que $\mathbb E \int_0^T \Theta^2(u) d u < \infty$ . Establecer $Z = Z(T)$ . Entonces $\mathbb E Z = 1$ y bajo la medida de probabilidad $\widetilde P$ dado por $$\widetilde P(A) = \int_A Z(\omega) d P(\omega), \forall A \in \mathscr F \tag{5.2.1}$$ el proceso $\widetilde W(t)$ , $ 0 \leq t \leq T$ es un movimiento browniano.

Ahora dejemos que $\widetilde M(t)$ , $0 \leq t \leq T$ sea una martingala bajo $\widetilde{\mathbb P}$ . Entonces hay un proceso adaptado $\widetilde \Gamma(u)$ , $0 \leq u \leq T$ tal que $$\widetilde M(t) = \widetilde M(0) + \int_0^t \widetilde \Gamma(u) d \widetilde W(u), 0 \leq t \leq T. \tag{5.3.2}$$

Shreve dice: "*El corolario 5.3.2 no es una consecuencia trivial del Teorema de la Representación de Martingala, Teorema 5.3.1, con $\widetilde W(t)$ sustitución de $W(t)$ porque la filtración $\mathscr F(t)$ en este corolario se genera mediante el proceso $W(t)$ no el $\widetilde P$ -Brownian movimiento $\widetilde W(t)$ ".

Mi problema es que no consigo visualizar por qué importa la diferencia. No podría entender, si $\widetilde{\mathbb P}$ se define en función de $\mathbb P$ ¿cuán diferentes pueden ser?

¿Existe algún ejemplo que pueda explicar por qué Shreve "hace una gran chapuza" aquí?

Answer 1

Usted tiene $$\widetilde{W}_t=W_t+\int\Theta(u)du$$ que en general no es un movimiento browniano, porque tiene un componente de deriva.

Pero 5.3.1 dice

$$M_t=M_0+\int \Gamma(u)dW_u\tag{5.3.1}$$

que sólo es válido para un movimiento browniano $W$ (y $M_t$ martingala).

Por tanto, no se puede sustituir trivialmente $W_t$ y $W_t+\int\Theta(u)du=\widetilde{W}_t$ en 5.3.2 mediante la configuración de

$$\widetilde M_t = \widetilde M_0 + \int_0^t \widetilde \Gamma(u) d \widetilde W_u\tag{5.3.2}$$

(porque $\widetilde W_t$ no es en general un movimiento browniano).

5.3.2 sólo es válida en el caso del cambio especial de medida definido como $$Z_t = \exp\left\{ - \int_0^t \Theta(u) d W(u) - \frac{1}{2} \int_0^t \Theta^2(u) d u \right\}$$

Entonces $\widetilde M$ es una martingala, y $\widetilde W$ se convierte en un movimiento browniano (la prueba no es trivial).

Pero aún así la filtración de $W_t$ y $\widetilde{W}_t=W_t+\int\Theta(u)du$ obviamente no es lo mismo.

Answer 2

En primer lugar, una filtración $( \mathscr{F}_t )_{t \geq 0 }$ es un "conjunto" de álgebras sigma indexadas normalmente por el tiempo t que son crecientes. Es decir, para cada $t>0$ , $\mathscr{F}_t$ es un álgebra sigma y $\mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{F}_T$ para todos $0\leq t \leq T$ . El ejemplo canónico, es la filtración generada por un proceso, digamos el movimiento browniano $W$ : La filtración $( \mathscr{F}_t )_{t \geq 0 }$ es tal que $\mathscr{F}_0$ es el mínimo $\sigma$ -tal que $W_0$ es medible con respecto a ella (es decir, si $W_0$ es $\mathscr{G}$ -medible, entonces $\mathscr{F}_0 \subset \mathscr{G}$ ) y $\mathscr{F}_t$ es el mínimo $\sigma$ -tal que todos los incrementos de $W$ hasta el momento $t$ son medibles con respecto a ella. Dicho esto, la interpretación de la filtración es la del flujo de información: a medida que avanza el tiempo se conoce al menos tanta información como antes. En particular, son útiles para definir el concepto de martingala.

Nosotros decimos $(M_t)_{t\geq0}$ es una martingala si la expectativa condicional en el tiempo $t$ dada la información hasta el momento $s$ es el proceso en el momento $s$ es decir, lo mejor que podemos decir sobre el proceso en el momento $t$ con la información hasta el momento $s < t$ es el propio proceso en el momento $s$ pero qué información y cómo definirla formalmente, aquí es donde entra en juego el concepto de filtración. En un espacio de probabilidad filtrado (un espacio de probabilidad con una filtración ) $( \Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P}, (\mathscr{F} )_{t \geq 0 } ) $ el proceso $( M_t )_{ t \geq 0 } $ adaptado a la filtración $( \mathscr{F}_t )_{t\geq 0}$ es una martingala si $M_0$ es integrable ( $M_0 \in L^1(\mathbb{P})$ ), y $$ \mathbb{E} \left [ M_t \right \vert \left. \mathscr{F}_s \right] = M_s, \quad \text{ for every }s \leq t $$ En particular, un proceso puede ser martingala con respecto a una filtración y no con respecto a otra. Además, no es necesariamente el caso en el que, digamos, la filtración generada por el movimiento browniano $W$ y la filtración generada por $$X_t = W_t + \int_0^t \theta_s ds$$ son los mismos. A continuación daré un ejemplo famoso.

Creo que el comentario que Shreve quiere hacer es que el proceso $\widetilde M$ es una martingala en el espacio de probabilidad filtrado $( \Omega, \mathscr{F},\widetilde{ \mathbb{P} }, (\mathscr{F} )_{t \geq 0 } ) $ (por lo tanto, con respecto a la filtración generada por $W$ ) aún así, admite una representación estocástica como en el Teorema 5.3.1 con $\widetilde W$ . Como usted ha mencionado si las filtraciones generadas por $W$ y $\widetilde W$ fueran iguales, entonces el resultado sería trivial, pero en general no son iguales como pondré de ejemplo a continuación.

Este es un ejemplo famoso debido a Ito, y se puede encontrar en el libro de integración estocástica de Protter, en la segunda sección del último capítulo. Consideremos el movimiento browniano $W$ con su respectiva filtración $(\mathscr{F}_t)_{t\geq 0}$ . Ahora para cada $t>0$ consideremos la filtración $\mathcal{G}_t$ que es la filtración mínima tal que $\mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{H}_t$ y $W_1$ es $\mathscr{H}_t$ -medible. Es fácil ver que $(\mathscr{H}_t)_{t \geq 0 }$ es una filtración diferente de $( \mathscr{F}_t )_{ t \geq 0 }$ (ya que $W$ no es una martingala con respecto a $\mathscr{H}$ ). Lo que Ito demostró fue que el proceso $$ \beta_t = W_t - \int_0^t \frac{W_1 - W_s}{1-s}ds, t \in [0,1]$$ es una martingala con respecto a la $\mathscr{H}$ filtración, y de hecho (debido al teorema de Levy) un movimiento browniano. Así que ahí tienes dos filtraciones completamente diferentes para procesos relacionados por una simple adición de deriva.