¿Cuánto tiempo tarda el tinte liberado en saturar uniformemente los océanos?

Question

Supongamos que un superpetrolero lleno de tinte púrpura se rompe en un punto concreto en medio del Océano Pacífico y vierte un enorme volumen de tinte púrpura en el océano de una sola vez.

1. Imagina que no hay corrientes marinas y que todos los océanos del mundo están perfectamente quietos. ¿Cuánto tiempo tardaría el colorante púrpura en difundirse y saturar uniformemente los océanos del mundo? (Puedes suponer que el mundo está completamente cubierto de agua, si eso lo hace más sencillo).

2. Ahora imagina que hay son corrientes oceánicas. ¿Cuánto tiempo tardaría el colorante púrpura en saturar uniformemente los océanos del mundo? (Referencia potencialmente útil aquí .)

3. ¿Es posible que el nº 1 sea más rápido que el nº 2? ¿Podría el tinte quedar atrapado en una corriente de circuito cerrado y permanecer allí indefinidamente, sin llegar nunca al resto del mundo? Tengo entendido que cuando las corrientes fluyen una junto a la otra en direcciones opuestas, casi ningún material puede cruzar la interfaz entre ellas.

Answer 1

Es una pregunta muy interesante. Me gustan mucho las conjeturas :D.

La primera parte la intentaría resolver con el movimiento browniano. Según Einstein tenemos

$$ x^2=t\frac{k_BT}{3r\pi\eta} $$

con

• $x$ Distancia media a la fuente
• $t$ Tiempo transcurrido desde el vertido
• $k_B$ : Constante de Boltzmann
• $T$ : temperatura
• $r$ el radio de la partícula
• $\eta$ la viscosidad del colorante

Además, supongo que el tinte y el agua son dos fases distintas, por lo que no se mezclan, el tinte forma una capa superior, sobre el agua.

Además, asumiría que la Tierra es una esfera perfecta con diámetro $d=12'000$ km, por lo que $x=\frac{d\cdot\pi}{2}\approx18\cdot10^6$ m cuando el globo está completamente cubierto. (Sólo tiene que "recorrer" la mitad del globo, porque viaja en ambas direcciones simultáneamente. Ambas "corrientes" se encontrarán al otro lado).

La temperatura media mundial es de unos 15°C si no me equivoco. Así que $T=288$ K.

El radio de una partícula: Consideremos índigo con una masa molar de $262$ g/mol y una densidad de $1$ g/cm $^3$ lo que arroja un volumen medio de partículas de $262$ cm $^3$ /mol $= 4\cdot10^{-22}$ cm $^3$ que corresponde aproximadamente a un radio de partícula de $8\cdot10^{-8}$ cm (bajo el supuesto de partículas cúbicas, pero las esferas y los cubos no son tan diferentes...). Este radio parece razonable comparado con el tamaño de un átomo, que es del mismo orden. Para simplificar, supongamos simplemente $r=10^{-9}$ m.

El viscosidad de tinte debe estar en algún lugar entre el agua y la miel, supongo, tal vez en el rango de aceite de oliva o un poco menos. Asumiré que $\eta=40$ mPa s.

Juntando todo nos encontramos con algo así como

$\begin{align} t&=\frac{3r\pi\eta x^2}{k_BT}\\ &=\frac{3\cdot10^{-9}\text{ m}\cdot\pi\cdot0.04\text{ Pa s}\cdot 3\cdot10^{14}\text{ m$^2$}}{1\cdot10^{-23}\text{ J/K}\cdot288\text{ K}}\\ &\approx 4\cdot10^{25} \text{ s} \end{align}$

donde he utilizado J = Pa m $^3$ de la constante de Boltzmann.

Así que se necesita más o menos $10^{18}$ años para colorear completamente nuestro planeta sólo por el movimiento browniano, más que la edad de nuestro universo. Por lo tanto, si hay una fuga de un enorme superpetrolero en algún lugar, ¡todavía no nos habremos dado cuenta! No pierdas de vista nuestro colorido mundo.