Cómo calcular la frecuencia de capitalización de un préstamo (utilizando la función de Lambert-W)

Question

Un bono tendrá un valor de 500 dólares cuando vence en 5 años. Si el bono se compró hoy por 450 dólares al 2.13% por año, determine con qué frecuencia se compuso el interés.

Intenté resolver la pregunta con prueba y error, pero ¿hay una mejor manera de resolverla?

La función se ve así: $$500 = 450(1 +{0.0213\over x})^{5x}$ $

Answer 1

Considerar el caso más general de la ecuación $$a=\left(1+\frac{b}{x}\right)^{c x}$$ La solución de esto se da en términos de la función de Lambert. Voy a omitir todos los pasos intermedios y acaba de proporcionar el resultado; escribir $$x=-\frac{b \log (a)}{\log (a)+b\, c\, W_{-1}(-t)}\qquad \text{where} \qquad t=\frac{ a^{-\frac{1}{b\, c}}}{b \,c}\log (a)$$ Sólo recuerde que cualquier ecuación que se puede escribir o reescribir como $$A+B x+C \log(D+Ex)=0$$ tiene solución(s) i términos de Lambert función.

Para su problema específico, ya que la representación gráfica, se puede ver que la solución está cerca de a $x=1$, usted podría haber hecho lo siguiente : tomar logaritmos de ambos lados y el uso de la expansión de Taylor alrededor de $x=1$. El trabajo con números enteros, que obtendría $$\left(5 \log \left(\frac{10213}{10000}\right)-\log \left(\frac{10}{9}\right)\right)+(x-1) \left(5 \log \left(\frac{10213}{10000}\right)-\frac{1065}{10213}\right)+O\left((x-1)^2\right)$$ y haciendo caso omiso de los términos de orden superior, esto daría, como una aproximación, $$x=1-\frac{10213 \left(5 \log \left(\frac{10213}{10000}\right)-\log \left(\frac{10}{9}\right)\right)}{5 \left(10213 \log \left(\frac{10213}{10000}\right)-213\right)}\approx 0.98086$$ while the exact solution is $0.98121$.