Entendiendo un comentario para la medida de Hausdorff en las notas de la conferencia de Wolff

Question

En el capítulo de medidas de Hausdorff en Wolff notas sobre análisis armónico, estoy tratando de comprender un pedazo de comentario.

Fix $\alpha>0$, y deje $E\subset\mathbb{R}^n$. Para $\epsilon>0$, se define el $$H_\alpha^\epsilon(E)=\inf \sum_{j=1}^\infty r_j^\alpha,$$ donde el infimum se toma sobre todos los contables de los revestimientos de $E$ por discos de $D(x_j,r_j)$ con $r_j<\epsilon$. Está claro que $H_\alpha^\epsilon(E)$ aumenta¹ como $\epsilon$ disminuye, y definimos $$H_\alpha(E)=\lim_{\epsilon\to 0} H_\alpha^\epsilon(E).$$

^{1. Nota: creo que este debe ser entendido como "no descenso" ya que si $H_\alpha^1(E)=0$, a continuación, $H_\alpha(E)=0$.}

Observación. Está claro que $H_\alpha(E)=0$ para todos los $E$ si $\alpha>n$, dado que uno puede cubrir $\mathbb{R}^n$ por discos de $D(x_j,r_j)$ con $\sum_jr_j^\alpha$ arbitrariamente pequeño.

No entiendo el comentario. Alguien podría elaborar todo esto?

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Aplicando la desigualdad $$\sum_j r_j^\alpha \le \delta^{\alpha-n}\sum_jr_j^n,\quad r_j<\delta,$$ uno puede mostrar que si $H_n(E)<\infty$, a continuación, $H_\alpha(E)=0$ para $\alpha>n$. Pero el comentario dice algo más fuerte.

Answer 1

Por simplicidad primera asume que el conjunto de $E$ está dentro de la bola de $B_{n}(R)$ radio $R$. A ver que: $$H_\alpha^\epsilon(E)\leq H_\alpha^\epsilon(B_n(R)).$$ Se puede ver que $B_{n}$ pueden ser cubiertos aproximadamente con $(R/\epsilon)^n$ bolas de radio $\epsilon$ que significa que: $$H_\alpha^\epsilon(B_n(R))\leq (R/\epsilon)^n\epsilon^{\alpha}.$$ Si $\alpha>n$, el lado derecho tiende a cero az $\epsilon\to 0$.

Si $E$ no es un conjunto acotado, considere la posibilidad de $E\cap B_n(R)$ para que $H_\alpha(E\cap B_n(R))=0$ para $\alpha>n$ y deje $R\to\infty$.