Cuántos $g$ en un grupo finito son tales que $b=g^{-1}ag$ para un determinado $a\ne b$ en el grupo?

Question

Dado un grupo $G$ sabemos que podemos establecer una relación de equivalencia entre sus elementos definiendo $a \equiv b \Leftrightarrow \exists g \in G|b=g^{-1}ag$ (conjugación). Definamos $\mathcal{F}_b^{(a)}:=\lbrace g \in G|b=g^{-1}ag \rbrace$ y denotar por $C_G(a)$ el centralizador de $a$ en $G$ . Si $b \ne a$ entonces $\mathcal{F}_b^{(a)} \cap C_G(a)=\emptyset$ de hecho, $g \in \mathcal{F}_b^{(a)} \cap C_G(a) \Rightarrow$ $ag=gb \wedge ag=ga \Rightarrow gb=ga \Rightarrow b=a$ . Por lo tanto, podemos afirmar que $b \ne a \Rightarrow$ $\mathcal{F}_b^{(a)}=\lbrace g \in \complement_G(C_G(a))|b=g^{-1}ag \rbrace$ , $\complement_G(X)$ siendo el complemento en $G$ de cualquier subconjunto $X \subseteq G$ .

Mi pregunta es la siguiente. Tomemos $G$ finito y $a,b \in G$ con $b \ne a$ Cómo podemos expresar la cardinalidad de $\mathcal{F}_b^{(a)}$ ?

Answer 1

Considere la aplicación $$f(a, g)=g^{-1}ag$$ entonces claramente $$f(f(a, g), h)=f(a, gh)$$

Si existe $g\in \mathcal F^{(a)}_b$ entonces $$\begin{align} h\in \mathcal F^{(a)}_b &\Leftrightarrow f(a, g)=f(a, h)\\ &\Leftrightarrow f(a, g)=f(f(a, hg^{-1}), g)\\ &\Leftrightarrow a=f(a, hg^{-1})\\ &\Leftrightarrow hg^{-1}\in C_G(a)\\ &\Leftrightarrow h\in C_G(a)g \end{align}$$ por lo que si $F^{(a)}_b$ no está vacío existe $g\in G$ tal que $F^{(a)}_b=C_G(a)g$ entonces $$\left\lvert F^{(a)}_b\right\rvert\, =\begin{cases} 0 & \text{if }\mathcal F^{(a)}_b\text{ is empty}\\ \lvert C_G(a)\rvert & \text{otherwise} \end{cases}$$

Observe que $b\neq b'$ implica que $\mathcal F^{(a)}_b\cap \mathcal F^{(a)}_{b'}=\emptyset$ por lo que todos los no vacíos $\mathcal F^{(a)}_b$ determinar una partición de $G$ así que hay exactamente $\lvert G : C_G(a)\rvert$ diferentes $b\in G$ tal que $\mathcal F^{(a)}_b$ no está vacío.