Dado un grupo $G$ sabemos que podemos establecer una relación de equivalencia entre sus elementos definiendo $a \equiv b \Leftrightarrow \exists g \in G|b=g^{-1}ag$ (conjugación). Definamos $\mathcal{F}_b^{(a)}:=\lbrace g \in G|b=g^{-1}ag \rbrace$ y denotar por $C_G(a)$ el centralizador de $a$ en $G$ . Si $b \ne a$ entonces $\mathcal{F}_b^{(a)} \cap C_G(a)=\emptyset$ de hecho, $g \in \mathcal{F}_b^{(a)} \cap C_G(a) \Rightarrow$ $ag=gb \wedge ag=ga \Rightarrow gb=ga \Rightarrow b=a$ . Por lo tanto, podemos afirmar que $b \ne a \Rightarrow$ $\mathcal{F}_b^{(a)}=\lbrace g \in \complement_G(C_G(a))|b=g^{-1}ag \rbrace$ , $\complement_G(X)$ siendo el complemento en $G$ de cualquier subconjunto $X \subseteq G$ .
Mi pregunta es la siguiente. Tomemos $G$ finito y $a,b \in G$ con $b \ne a$ Cómo podemos expresar la cardinalidad de $\mathcal{F}_b^{(a)}$ ?
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Sus conjuntos $\mathcal{F}_b^{(a)}$ son precisamente los cosets derechos de $C_G(a)$ .