Calcular$\int_{\Gamma}\omega$ donde$\omega=(y-2z)dx+(x-z)dy+(2x-y)dz$

Question

Calcular $\int_{\Gamma}\omega$ donde $\omega=(y-2z)dx+(x-z)dy+(2x-y)dz$ e $\Gamma$ es la intersección entre: $x^2+y^2+z^2=r^2$ e $x-y+z=0$

Mi intento:

$\Gamma$ es una especie de elipse en el plano de la $x-y+z = 0$. Tomando $z$ a partir de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, se obtiene:

$$x^2+y^2+(x-y)^2=r^2$$

¿Cómo continuar a partir de aquí con la parametrización? Existe un enfoque general para este tipo de cosas?

Calcula que más y conseguí: $\displaystyle x^2-xy+y^2=\frac {r^2}2$. ¿Cómo puedo transformar en la forma de una elipse?

Answer 1

$\Gamma$ es la intersección entre una esfera centrada en el origen y un plano que pasa por el origen, por lo tanto un círculo centrado en el origen. El vector normal de este círculo es $(1,-1,1)$, por lo que encontrar dos de la unidad de vectores perpendiculares entre sí y a $(1,-1,1)$. Una opción posible es $\frac{\sqrt2}2(1,1,0)$ e $\sqrt{\frac23}\left(-\frac12,\frac12,1\right)$.

Los dos nuevos vectores son ortonormales base para el plano del círculo se encuentra, por lo tanto podemos utilizar el ordinario parametrisation del círculo, sólo que con diferentes vectores de la base: $$\sqrt{\frac23}\left(-\frac12,\frac12,1\right)r\cos t+\frac{\sqrt2}2\left(1,1,0\right)r\sin t$$ $$=r\left(-\frac{\sqrt2}{2\sqrt3}\cos t+\frac{\sqrt2}2\sin t,\frac{\sqrt2}{2\sqrt3}\cos t+\frac{\sqrt2}2\sin t,\sqrt{\frac23}\cos t\right)$$ Por supuesto, $t$ va de 0 a $2\pi$.