Independencia de cocientes de variantes independientes

Question

Si $X= x_1/(x_1+x_2)$ y $Y= (x_1+x_2)/(x_1+x_2+x_3)$ w $x_1,x_2,x_3$ variantes chi-cuadrado independientes con d.f $n_1,n_2,n_3$ respectivamente, son $X$ & $Y$ ¿independiente?

Conozco la condición para la independencia de dos variables aleatorias y el método habitual seguido es decir, utilizando la distribución conjunta . Pero, ¿hay alguna manera corta de establecer la independencia en la pregunta anterior?

Answer 1

Es una propiedad "bien conocida" de las distribuciones Gamma que $x_1/(x_1+x_2)$ y $(x_1+x_2)$ son independientes, y que $x_1+x_2+x_3$ y $Y= (x_1+x_2)/(x_1+x_2+x_3)$ son independientes. Por ejemplo, escribir \begin{align*} x_1&=\{\varrho \sin(\theta)\}^2\\ x_1&=\{\varrho \cos(\theta)\}^2\\ \end{align*} obtenemos que $$X=\frac{\{\varrho \sin(\theta)\}^2}{\{\varrho \sin(\theta)\}^2+\{\varrho \cos(\theta)\}^2}=\sin(\theta)^2$$ y $$Y=\frac{\varrho^2}{\varrho^2+x_3}$$ son efectivamente funciones de diferentes variantes (aunque la independencia entre $\varrho$ y $\theta$ debe establecerse).

Answer 2

Una interpretación/intuición geométrica

Podrías ver las variables chi-cuadrado $x_1,x_2,x_3$ como relativas a variables independientes de distribución normal estándar que a su vez se relacionan con variables de distribución uniforme en una n-esfera https://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Generating_random_points

Del mismo modo que se puede dividir una esfera regular en círculos de distintos tamaños, se puede dividir la hiperesfera en hiperesferas de dimensión inferior.

La distribución de $\frac{x_1}{x_1+x_2}$ "el punto/ángulo en un círculo" es independiente de $\frac{x_1+x_2}{x_1+x_2+x_3}$ "el radio cuadrado (relativo) del círculo" o $x_1+x_2+x_3$ "el radio al cuadrado de la esfera en la que está incrustado ese círculo".

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Se puede tomar una n-esfera (incrustada en dimensión $n_1+n_2+n_3$ ) y calcular explícitamente el valor de $f_X(x)$ calculando la relación relativa de las áreas de las subesferas, la $(n_1-1)$ -esfera de radio $\sqrt{x_1}$ y el $(n_1-n_2-1)$ -esfera de radio $\sqrt{x_1+x_2}$ . El resultado sólo debería depender de la fracción $X=\frac{x_1}{x_1+x_2}$ y ser independiente de $x_1+x_2$ o $x_1+x_2+x_3$ .

Véase aquí un cálculo similar (pero mucho más sencillo) .