Generalización de$(a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)$

Question

Sabemos que, $(a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)$ . ¿Tenemos algo similar para $$\left(\sum_{i=1}^N a_i\right)^2.$ $ donde $a_i\in \mathbb{R}\ \ \ \ \forall\ i\in \{1,\cdots,N\}$ .

Para $n=3$ , obtenemos \begin{equation} \begin{aligned} (a_1+a_2+a_3)^2&\leq 2\left((a_1+a_2)^2+a_3^2\right) \\&\leq 2\left(2(a_1^2+a_2^2)+a_3^2 \right). \end {alineado} \ end {equation} ¿Tenemos algún tipo de generalización?

Answer 1

Es CS: $$n(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)=$ $ $$=(1^2+1^2+...+1^2)(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)\geq(a_1+a_2+...+a_n)^2.$ $

Answer 2

Otros han mencionado que esta fórmula ya, pero quiero remarcar que podemos reforzar un poco para $$ |a_1|+\cdots+|a_n| \le \sqrt{n}\,\left(a_1^2+\cdots+a_n^2 \right)^{1/2}. $$ Por otra parte, la "otra dirección" también tenemos $$ \left(a_1^2+\cdots+a_n^2 \right)^{1/2} \le |a_1|+\cdots+|a_n|, $$ lo que sigue a partir de la super-aditividad de $x\mapsto x^2$ a $[0,\infty)$. Juntos muestran que estas dos normas en $\Bbb R^n$ ($||\cdot||_1$ e $||\cdot||_2$) son equivalentes.

Answer 3

La generalización es

$$\left(\sum_{i=1}^N a_i\right)^2\le N\sum_{i=1}^N a_i^2$ $ que degenera a la igualdad si todos los $a_i$ son iguales. Es la desigualdad de Cauchy-Schwarz aplicada a los vectores $(1,1,\dots,1)$ y $(a_1,a_2,\dots,a_n)$ .