Teorema fundamental del cálculo con diferentes variables

Question

¿Cómo se puede explicar que $$\frac{d}{dx}\left(\int_0^x{\cos(t^2+t)dt}\right) = \cos(x^2+x)$ $ sin resolver la integral?

Sé que está relacionado con el teorema fundamental del cálculo, pero aquí tenemos un derivado con respecto a $x$ , mientras que el antiderivado es con respecto a $t$ .

Gracias.

Answer 1

Decir $f(t)=\cos(t^2+t)$ y una antiderivada es $F(t)$. La integral en cuestión es, por el teorema fundamental del cálculo, $$F(x)-F(0)$$ $F(0)$ es una constante y que desaparece cuando la diferenciación con respecto a $x$, mientras que el $F(x)$ hace $f(x)$ una vez más. Por lo tanto, después de la diferenciación que debe tener la RHS como $\cos(x^2+x)$.

Answer 2

Tal vez usted es la mezcla de dos partes de el Teorema Fundamental del Cálculo (en lo sucesivo referido como FTC). Primera parte del teorema se ocupa exactamente con la búsqueda de derivados de las cosas de la forma $\int_{a} ^{x} f(t) \, dt$.

Más formalmente, vamos a la función de $f:[a, b] \to\mathbb {R} $ ser Riemann integrable en $[a, b] $. La intención de la primera parte de la FTC es el estudio de las propiedades de una función relacionada $F:[a, b] \to\mathbb {R} $ definido por $$F(x) =\int_{a} ^{x} f(t) \, dt$$ The function $F$ is defined by means of an integral and is not necessarily an anti-derivative of $f$.

La FTC dice que esta función $F$ es continua en a$[a, b] $. Y lo que es más importante $F$ es diferenciable en los puntos donde la $f$ es continua en un punto de $c\in[a, b] $ tenemos $F'(c) =f(c) $.

La FTC no dicen nada acerca de $F'(c) $ cuando $f$ es discontinua en a$c$ , y puede ser posible que en tales casos

• $F'(c) $ no existe
• o existe pero no es igual a $f(c) $
• o puede existir y ser igual a $f(c) $

En cualquier caso, uno debe observar que la primera parte de la FTC no tratar con anti-derivados.

Ahora su función en virtud de la integral, es decir, $\cos(t^2+t)$ es continua en todas partes y, por tanto, la integral de la $\int_{0}^{x}\cos(t^2+t)\,dt$ es diferenciable en todas partes con derivados $\cos(x^2+x)$. Por lo tanto el resultado en tu pregunta es una consecuencia inmediata de la primera parte de la FTC.

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Hay una segunda parte de la FTC que trata con anti-derivados. Como en la primera parte se inicia con una función de $f:[a, b] \to \mathbb {R} $ que es Riemann integrable en $[a, b] $ pero su intención es evaluar la integral de la $\int_{a} ^{b} f(x) \, dx$ en una manera fácil. Pero para lograr este objetivo se hace un adicional y fuerte de la asunción: se asume que hay un anti-derivado $F$ de $f$ a $[a, b] $. En otras palabras, asumimos la existencia de una función de $F:[a, b] \to\mathbb {R} $ tal que $F'(x) =f(x) \, \forall x\in[a, b] $ y, a continuación, la FTC dice que la integral de la $\int_{a} ^{b} f(x) \, dx$ es igual a $F(b) - F(a) $.

Answer 3

Por el teorema fundamental del cálculo, $\int_a^b{f(t)dt}=F(b)-F(a)$ , donde $F'(x)=f(x)$ . En este caso: $$\int_0^x{\cos(t^2+t)dt}=F(x)-F(0)$ $ $$\frac{d}{dx}(F(x)-F(0))=F'(x)=f(x)=\cos(x^2+x)$ $ $F(0)$ desaparece después de la diferenciación porque es una constante