¿Es el conjunto$\{\delta_x\}_{x \in [a, \ b]}$ una base para el conjunto de distribuciones en$C^{\infty}_c([a, \ b])$?

Question

$\def\braket#1#2{\langle#1|#2\rangle}\def\bra#1{\langle#1}\def\ket#1{#1\rangle}$

Es el conjunto $\{\delta_x\}_{x \in [a, b]}$ una base para el conjunto de las distribuciones en $C^{\infty}_c([a, \ b])$? A continuación se p.59 y p.60 de Shankar del libro Principios de la Mecánica Cuántica.

De acuerdo a Shankar, el conjunto $\{\delta_x\}_{x \in [a, \ b]}$ es una base para el espacio de funciones en $[a, \ b]$ que se desvanece en el set $\{ a, b\}$. Aquí, $\delta_x(y) = \delta(x-y) = \braket{x}{y}$ e $\delta_x = |\ket{x}$. Sin embargo, los deltas de Dirac no son funciones. Es el conjunto $\{\delta_x\}_{x \in (a, \ b)}$ una base para el conjunto de las distribuciones en $C^{\infty}_c((a, \ b))$?

$\varphi:= \int_a^b | \ket{y} \bra{y} | dy $

$\varphi [f] = \int_a^b | \ket{y} \bra{y} | \ket{f} dy = \int_a^b | \ket{y} f(y) dy $

$ \braket{x}{\varphi(f)} = \int_a^b \braket{x}{y} f(y) dy = \int_a^b \delta(x-y) f(y) dy = f(x) = \braket{x}{f}$

Por lo tanto $\varphi(f) = f$, e $\varphi = id$.

$ \int_a^b | \ket{y} \bra{y} | dy = id \in \operatorname{Hom}(C_c^{\infty}((a, \ b), C_c^{\infty}((a, \ b))$ (Esta es la ecuación (1.10.11) en Shankar)

$\varphi_g :=\int_a^b \ dy \ g(y) \bra{y}|$

A continuación, $ \varphi_g (|\ket{f}) = \int_a^b \ dy \ g(y) \braket{y}{f} = \int_a^b \ dy \ g(y) f(y) = \int_a^b g f \ dy = \braket{g}{f}$

Por lo tanto $g = \int_a^b \ dy \ g(y) \bra{y}|$ en $\operatorname{Hom}(C^{\infty}_c((a, \ b), \mathbb{R})$?

Mis preguntas son:

1. Es el conjunto $\{\delta_x\}_{x \in (a, \ b)}$ una base para el conjunto de las distribuciones en $C^{\infty}_c((a, \ b))$?

2. Si 1 es cierto, entonces ¿en qué sentido (por ejemplo, finito suma , contables suma ...) no $\{\delta_x\}_{x \in (a, \ b)}$ abarcan el espacio de las distribuciones en $C^{\infty}_c((a, \ b))$?

3. $g = \int_a^b \ dy \ g(y) \bra{y}|$ en $\operatorname{Hom}(C^{\infty}_c((a, \ b), \mathbb{R})$?

Answer 1

Esto probablemente no es una respuesta completa a su pregunta (ya que no entiendo muchas partes de la física de libros de texto que usted ha citado). Quizás tendrás que esperar a que alguien más conocimientos para dar un mejor punto de vista.

Primero que todo, permítanme indicar $\mathcal D= C^\infty_c(a,b)$ equipado con la topología de la convergencia uniforme (de todos sus derivados) en un conjunto compacto. Deje $\mathcal D'$ ser su doble, es decir, el conjunto de distribuciones en las $\mathcal D$. Mientras $S=\{\delta_x:x\in(a,b)\}$ no es una "base" de $\mathcal D'$ en la habitual combinación lineal sentido, podemos aproximar un elemento $T\in \mathcal D'$ mediante el uso de elementos de $S$ , de la siguiente manera:

Se sabe que $\mathcal D$ es sequenctially $w^*$-denso en $\mathcal D'$, por lo que cualquier $T\in \mathcal D'$ se puede aproximar arbitrariamente bien con una secuencia $\varphi_n\in \mathcal D$. Por otro lado, cada una de las $\varphi_n$ induce un (firmado) medida de Borel en $(a,b)$, y de acuerdo a esto, $S \cup -S$ es el conjunto de puntos extremos de todas esas medidas de Borel con el total de la variación de la norma 1. Por Krein-Milman teorema, la versión a escala de la $\varphi_n$ (vistos como una medida) puede aproximarse por una combinación convexa de $S \cup -S$. Por lo tanto, cualquier elemento de la $\mathcal D'$ puede ser aproximada (en $w^*$ sentido) por $\text{span } S$.