Olimpiada de Nigeria

Question

Supongamos que $a,b,c,d$ son enteros que satisfacen $ab + cd = 44,ad - bc = 9.$ Encuentre el valor mínimo posible de $a² + b² + c² + d².$

Answer 1

$$(ab+cd)^2=44^2\implies a^2b^2+2abcd+c^2d^2=44^2$$

De forma similar:

$$a^2d^2-2abcd+c^2b^2=9^2$$

Así:

$$a^2b^2+a^2d^2+c^2d^2+c^2b^2=44^2+9^2=2017\implies(a^2+c^2)(b^2+d^2)=2017$$

$2017$ es primo, entonces, uno de $a^2+c^2$ o $b^2+d^2$ es $1$ y la otra es $2017$. Suponga $a^2+c^2=1$. Entonces uno de $a$ e $c$ es $0$ y la otra es $\pm 1$. Si $a$ es $0$, a continuación, $d=\pm 44$. A continuación, $b^2=2017-d^2=9^2$.

Por lo $$a^2+b^2+c^2+d^2=0^2+9^2+(\pm 1)^2+44^2=2018$$

Usted puede intercambiar $a^2+c^2$ e $b^2+d^2$ s/l.o.g. (e $a$ e $c$ o $b$ e $d$).