Si$\tan 2\alpha \cdot \tan \alpha = 1$, entonces, ¿qué es$\alpha$? Diferentes métodos dan diferentes respuestas.

Question

Si $\tan 2\alpha\cdot\tan \alpha = 1$ , entonces, ¿qué es $\alpha$ ?

Probé dos métodos pero obtuve dos respuestas diferentes.

Método 1:

$$ \begin{align} \tan 2\alpha\cdot\tan \alpha = 1 &\implies \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan ^2 \alpha}\;\tan \alpha = 1 \tag{1a}\\[6pt] &\implies 2\tan ^2\alpha = 1 - \tan ^2\alpha \tag{1b}\\[6pt] &\implies \tan ^2 \alpha = \frac{1}{3} \tag{1c}\\[6pt] &\implies \tan \alpha = \pm\frac{1}{\sqrt 3} \tag{1d}\\[6pt] &\implies \tan \alpha = \tan\left(\pm\frac{\pi}{6}\right) \tag{1e}\\[6pt] &\implies \alpha = n\pi \pm \frac{\pi}{6} \;\text{where}\; n \in \mathbb{Z} \tag{1f} \end {align} $$

Método 2: $$ \begin{align} \tan 2\alpha \cdot \tan \alpha = 1 &\implies \tan 2\alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \tag{2a}\\[6pt] &\implies \tan 2\alpha = \cot \alpha \tag{2b}\\[6pt] &\implies \tan 2\alpha = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \tag{2c}\\[6pt] &\implies 2\alpha = n\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha \text{?} \tag{2d}\\[6pt] &\implies \alpha = \frac{1}{3}\left(n\pi + \frac{\pi}{2}\right)\;\text{where}\; n \in \mathbb{Z} \tag{2e} \end {align} $$

¿Cuál es la correcta? ¿Hay algún error en las soluciones anteriores?

Answer 1

Nota cuidadosamente para referencia en el futuro que en la resolución de las ecuaciones que usted necesita para utilizar $\Leftrightarrow$ no $\Rightarrow$, o hacer algo equivalente.

Tanto tus respuestas son correctas a su medida, pero de forma incompleta.

En el primer método, para $\alpha=n\pi+\frac\pi6$ comprobamos que $$\tan2\alpha\tan\alpha=\sqrt3\frac1{\sqrt3}=1\ ,$$ así que esta es una solución correcta, mientras que para $\alpha=n\pi-\frac\pi6$ hemos $$\tan2\alpha\tan\alpha=(-\sqrt3)(-\frac1{\sqrt3})=1\ ,$$ así que esto es también una solución correcta.

Para su segunda solución, hay tres casos: $n=3k$ o $n=3k+1$ o $n=3k+2$. La primera da $$\tan2\alpha\tan\alpha=\sqrt3\frac1{\sqrt3}=1\ ,$$ así que esta es una solución correcta. El segundo da $\alpha=k\pi+\frac\pi2$, lo $\tan\alpha$ es indefinido y este debe ser descartado. El tercero da $$\tan2\alpha\tan\alpha=\sqrt3\frac1{\sqrt3}=1\ ,$$ así que esto es también una solución correcta. Por lo tanto, su segundo método debe dar una respuesta $$\alpha=\tfrac13(n\pi+\tfrac\pi2)\ ,\quad\hbox{where $n=3k$ or $n=3k+2$}.$$ Los números reales obtenidos en esta solución son las mismas que en el primer método.

Siempre revise sus respuestas si usted comienza con una ecuación y obtener posibles soluciones.

Answer 2

Su primer método es el correcto.

En el segundo método, se observa que la ecuación $$\tan 2\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$$ no es válido cuando se $\alpha = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$ o al $\alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}$ o al $\alpha = n\pi, n \in \mathbb{Z}$. Por lo tanto, en su solución $$\alpha = \frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{3}, n \in \mathbb{Z}$$ $n \neq 3k + 1$, $k \in \mathbb{Z}$ ya que implicaría $$\alpha = \frac{\pi}{6} + k\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$$ que no es válido.

Si reemplazamos $n$ por $3k$, obtenemos $$\alpha = \frac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$$ Si reemplazamos $n$ por $3k - 1$, obtenemos $$\alpha = \frac{\pi}{6} + k\pi - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$$ lo cual está de acuerdo con la primera solución.

Answer 3

@Toky,

No hay nada de malo con sus métodos. Ambos son correctos. Usted está consiguiendo dos representaciones distintas para el mismo conjunto de soluciones. De acuerdo con la segunda solución $$ \dots -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{6}, \frac{5\pi}{6},\dots $$ Su primera solución le da la mitad de estos si usted elige la $+$ signo, y te da la otra mitad si usted elige la $-$ signo.

Espero que esto ayude.