¿Cómo puedo calcular$\int\frac{x-2}{-x^2+2x-5}dx$?

Question

Estoy completamente estancado en resolver esta integral indefinida: $$\int\frac{x-2}{-x^2+2x-5}dx$ $

Al completar el cuadrado en el denominador y al separar el original en dos integrales, obtengo:

PS

El segundo es trivial, pero el primero me tiene atascado. Independientemente de la sustitución que aplique o de la forma en que la coloco, simplemente no puedo entenderla. Están destinados a ser resueltos sin integración parcial, por cierto.

Answer 1

El numerador de el integrando casi se parece a la derivada del denominador, lo que indica que la solución podría implicar un logaritmo. Vamos a seguir nuestra nariz y ver si podemos llegar a una expresión (usted tiene el derecho idea de dividir la integral!):

\begin{align}\int\frac{x-2}{-x^2+2x-5}dx &= - \int \frac{x-2}{x^2 - 2x + 5}dx \\&= -\frac 12 \int \frac{2x-4}{x^2 - 2x + 5}dx. \end{align} El numerador de el integrando es más parecida a la derivada del denominador, pero no del todo. Además de la manipulación de los rendimientos

\begin{align} \int\frac{x-2}{-x^2+2x-5}dx = -\frac 12 \left(\int \frac{2x-2}{x^2-2x+5}dx - \int \frac{2}{x^2-2x+5}dx\right). \end{align}

La segunda integral se puede resolver, se puede resolver el primero?

Answer 2

Otro plan que puede ser útil: una vez que vemos ese formulario con el cuadrado completado, hacemos una sustitución simple, no todo, sino solo la parte dentro del cuadrado. \begin{align*}I &= -\int \frac{x-2}{(x-1)^2+4}\,dx\\ &\phantom{|}^{u=x-1}_{du=dx}\\ &= \int -\frac{u-1}{u^2+4}\,du = \int\frac{-u}{u^2+4}\,du+\int\frac{1}{u^2+4}\,du\end {align *} La sustancia de esto es exactamente la misma que el argumento de @ E-mu: la diferencia es cómo llegamos a la manera de dividir el integrando. En lugar de buscar la derivada del denominador, hacemos una sustitución afín para que la división sea obvia.

Answer 3

Como $x^2-2x+5=(x-1)^2+2^2$ , la sustitución es $2u=x-1$ , por lo que la integral se convierte en $$ \ int \ frac {2-x} {x ^ 2-2x +5} \, dx = \ int \ frac {1-2u} {4u ^ 2 +4} 2 \, du = \ frac {1} {2} \ int \ frac {1-2u} {u ^ 2 +1} \, du $$ No hay necesidad de adivinar , ahora.