Cómo demostrar que un subconjunto es un ideal

Question

Acabo de empezar a aprender sobre la teoría de los anillos y estoy teniendo algunos problemas para entender realmente y ser capaz de aplicar ciertos conceptos. El primer concepto que me cuesta entender es el de ideal. Conozco la definición formal:

Dejemos que $R$ sea un anillo. Un subconjunto no vacío $I$ de $R$ se llama un ideal (sólo se trata de dos caras a partir de este punto) de $R$ si:

(a) $I$ es un subgrupo aditivo de $R$

(b) Dado $r \in R$ , $a\in I$ entonces $ra \in I$ y $ar \in I$

Sin embargo, tengo problemas para aplicar esto al primer (y más fácil) problema:

Si $R$ es un anillo conmutativo y $a \in R$ , dejemos que $L(a) = \{x \in R | xa = 0\}$ . Prueba $L(a)$ es un ideal de $R$ .

Mi primer enfoque fue probar primero $L(a)$ es un subgrupo aditivo, entonces que $ar,ra \in I$ pero tuve problemas con la segunda parte. Entonces traté de encontrar un homomorfismo con núcleo $L(a)$ pero también se atascó.

¿Podría alguien indicarme cómo debo enfocar este problema? He mirado varios posts aquí y estoy nervioso porque mi pregunta parece demasiado fácil. Por favor, tened en cuenta que estoy aprendiendo álgebra por mi cuenta, así que una explicación muy sencilla sería de gran ayuda.

Gracias.

Answer 1

Dado que $R$ es un anillo conmutativo, queremos demostrar que para $a \in R$ , $L(a) = \{x \in R : xa = 0\}$ es un ideal de $R$ .

Que es un subgrupo aditivo:

• Dejemos que $x, y \in L(a)$ entonces $xa = ya = 0$ y por lo tanto $(x + y)a = xa + ya = 0 + 0 = 0.$
• Dado $x \in L(a)$ su inversa es $-x$ desde $xa = 0$ significa $-xa = (-x)a = 0$ y por lo tanto $-x \in L(a)$ .
• La identidad aditiva es $0$ desde $0a = 0$ y dado $x \in L(a)$ , $x = x + 0 = 0 + x$ .

Que absorbe elementos del anillo: Sea $r \in R$ , $i \in L(a)$ ya que $i \in L(a)$ , $ia = 0$ .

• Observe que $(ri)a = r(ia) = r\cdot 0 = 0$ y por lo tanto $ri \in L(a)$ .
• $ir \in L(a)$ por la línea anterior ya que estamos en un anillo conmutativo.