Ejercicio de los "árboles" de Serre: compruebe que un grupo determinado es trivial

Question

En Serre del libro "Árboles" en la página 10 el siguiente ejercicio:

Muestran que el grupo que se define por la presentación $$x_2x_1x_2^{-1}=x_1^2, \hspace{7pt} x_3x_2x_3^{-1}=x_2^2, \hspace{7pt} x_1x_3x_1^{-1}=x_3^2$$ es trivial.

Comparando a lo que se hizo antes, claramente, el enfoque que se utiliza para demostrar que un smilarily grupo definido es infinita -, no.
Mi pregunta es, ¿cómo podría usted acerca de esto? sólo sequentailly substiuting una palabra a otra, para mostrar que, dicen, $x_1=1$? ¿Hay alguna forma más inteligente que acaba de fuerza bruta algo que cancela?

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

N. B: es un ejercicio de "Árboles", me gustaría esperar a ser preguntado por aquí antes. Hice mi mejor esfuerzo tratando de encontrarlo, pero no podía. Así que, lo siento si resulta ser un duplicado...

Answer 1

Observe primero que $$ x_2x_1=x_1^2x_2,\quad x_3x_2=x_2^2x_3,\quad x_1x_3=x_3^2x_1 $$ y, más en general $$ x_2^jx_1^k = x_1^{2^jk} x_2^j,\qquad x_3^jx_2^k = x_2^{2^jk} x_3^j,\qquad x_1^jx_3^k = x_3^{2^jk} x_1^j $$ para cualquier $j,k\in\mathbb{N}$. Entonces $$ x_1^2 x_2^2 x_3 \;=\; x_1^2 x_3 x_2 \;=\; x_3^4 x_1^2 x_2 \;=\; x_3^4 x_1, x_2 \;=\; x_2^{16}x_3^4x_1 \;=\; x_2^{16}x_1x_3^2 \;=\; x_1^{2^{16}}x_2^{16}x_3^2, $$ y la solución para $x_3$ da $$ x_3 \,=\, x_2^{-16}x_1^{2-2^{16}}x_2^2. $$ Entonces $$ x_2^2 \;=\; x_3x_2x_3^{-1} \;=\; x_2^{-16}x_1^{2-2^{16}}x_1, x_2^{2^{16}-2}x_2^{16} \;=\; x_2^{-16}x_1^{2^{16}-2}x_2^{17} $$ y de ello se sigue que $x_2 = x_1^{2^{16}-2}$. En particular, $x_2$ $x_1$ deben de viajar, por lo que la relación $$ x_2x_1 = x_1^2x_2 $$ demuestra que $x_1 = 1$, y, por tanto,$x_2=1$$x_3=1$.

---

Nota: El truco principal aquí era la inicial de la cadena de ecuaciones. En general, hemos de tener relaciones en un grupo que los pares de elementos "casi" viajar, por ejemplo,$x_2x_1=x_1^2 x_2$, usted puede obtener una gran cantidad de kilometraje de intentar aplicar las ecuaciones $$ abc \;=\; acb \;=\; cab \;=\; cba \;=\; bca \;=\; bac \;=\; abc. $$ Para "real" de la conmutación de obtener el mismo $a$, $b$, y $c$ a la final, pero para "falso" conmutación por lo general, obtener algo un poco diferente de lo que empezó, en este caso algo con $x_3^2$ en lugar de $x_3$. Una vez que hemos encontrado una expresión para $x_3$ en términos de $x_1$ $x_2$ el resto fue bastante sencillo.