Matriz derivada de una matriz con restricciones.

Question

Estoy buscando un método general para obtener la derivada de las reglas de un restringido de la matriz con respecto a sus elementos de la matriz.

En el caso de una matriz simétrica $S_{ij}$ ( $S_{ij}=S_{ji}$ ), una manera de hacerlo es la siguiente (ver la Variación de la métrica con respecto a la métrica). Decimos que una variación de un elemento de la matriz $\delta S_{ij}$ es el mismo que el de $\delta S_{ji}$, y por lo tanto $$ \delta S_{ij}=\frac{\delta S_{ij}+\delta S_{ji}}{2}=\frac{\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}}{2}\delta S_{kl}=\mathcal S_{ij;kl}\delta S_{kl}. $$ El tensor de la $\mathcal S_{ij;kl}$ tiene la propiedad $\mathcal S_{ij;kl}\mathcal S_{kl;mn}=\mathcal S_{ij;mn}$. Entonces uno dice que $$ \frac{\delta S_{ij}}{\delta S_{kl}}=\mathcal S_{ij;kl}. $$

Debo admitir que por qué este es el procedimiento correcto, no es muy claro para mí (que parece ser bastante arbitrario, aunque, obviamente, se trabaja para calcular la derivada de una función de una matriz simétrica). Esto significa que no es claro para mí cómo generalizar que cuando la restricción es diferente.

Por ejemplo, tomemos el conjunto de matrices $O$ perteneciente al grupo de los $SO(N)$. Es allí una manera de escribir $\frac{\delta O_{ij}}{\delta O_{kl}}$ en términos de un tensor $\mathcal B_{ij;kl}$, con las mismas propiedades atractivas ?

En el caso de $SO(2)$, esto parece bastante fácil, ya que, a continuación,$O_{ji}=(-1)^{i+j}O_{ij}$, y uno se encuentra en ese caso $$ \frac{\delta O_{ij}}{\delta O_{kl}}=\frac{\delta_{ik}\delta_{jl}+(-1)^{i+j}\delta_{il}\delta_{jk}}{2}, $$ lo que realmente hace el trabajo. Sin embargo, nótese que no he hecho uso de la definición de la propiedad de $SO(N)$$O O^T=1$, y no estoy seguro de si esto es relevante...

Ya en el caso de $SO(3)$, no parece ser fácil para encontrar el equivalente del tensor...

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Nota : el uso de la definición de la propiedad de $SO(2)$, se puede masajear las fórmulas para obtener $$ \frac{\delta O_{ij}}{\delta O_{kl}}=-O_{il}O_{kj}. $$ Primero de todo, es que depende explícitamente de la $O$, lo que parece malo. Además, si queremos definir tentativamente $\mathcal B_{ij;kl}[O]=-O_{il}O_{kj}$ (que ya es diferente de lo que hemos encontrado para $SO(2)$), luego tenemos a $\mathcal B_{ij;kl}[O]\mathcal B_{kl;mn}[O]=\delta_{im}\delta_{jn}$, lo que parece bastante raro...

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Si alguien sabe el procedimiento estándar (si existe) o una buena referencia, que sería muy apreciada. En cualquier caso, una buena explicación (tal vez un poco formal) en el caso de la matriz simétrica posible que también me ayude a conseguir mi cabeza alrededor del problema.

Answer 1

1. Dado un $m$-dimensiones del colector $M$ con coordenadas $(x^1, \ldots, x^m)$. Dado un $n$-dimensiones físicas submanifold $N$ con coordenadas físicas $(y^1, \ldots, y^n)$. Deje que se dé $m-n$ independiente de las restricciones $$ \chi^1(q)~\approx~ 0,\quad \ldots,\quad \chi^{m-n}(q)~\approx~ 0, \tag{1}$$ el cual se define la física submanifold $N$. Suponga que $$(y^1, \ldots, y^n, \chi^1, \ldots,\chi^{m-n})\tag{2}$$ constituye un sistema de coordenadas para el colector $M$.

2. En analogía con el corchete de Dirac, vamos a presentar una de Dirac derivados $$\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_D ~:=~\frac{\partial}{\partial x^i} - \sum_{a=1}^{m-n}\frac{\partial \chi^a}{\partial x^i}\left(\frac{\partial }{\partial \chi^a}\right)_y, \qquad i~\in~\{1,\ldots, m\}, \tag{3}$$ que proyecta sobre la física submanifold $$\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_D y^{\alpha}~=~\frac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^i} , \qquad \left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_D \chi^a~=~0.\tag{4}$$

3. Ejemplo: la Diferenciación wrt. una matriz simétrica puede ser visto como un Dirac diferenciación (3), donde las restricciones (1) está dada por antisimétrica matrices. Definir $$ s_{(ij)}~:=~ \frac{M_{ij}+M_{ji}}{2} \quad\text{and}\quad a_{(ij)}~:=~ \frac{M_{ij}-M_{ji}}{2}\quad\text{for}\quad i~>~j; \quad\text{and}\quad d_{(i)}~:=~M_{ii}.\tag{5}$$ Por el contrario, $$ M_{ij}~=~\theta_{ij}(s_{(ij)}+a_{(ij)})+\theta_{ji}(s_{(ji)}-a_{(ji)}) + \delta_{ij}d_{(i)} ,\tag{6}$$ donde el discreto función escalón unitario $\theta_{ij}$ aquí se supone que obedecer $\theta_{ii}=0$ (sin implícito suma). Los derivados que están relacionadas como $$\frac{\partial}{\partial M_{ij}} ~=~\frac{\theta_{ij}}{2}\left(\frac{\partial}{\partial s_{(ij)}}+\frac{\partial}{\partial a_{(ij)}}\right)+\frac{\theta_{ji}}{2}\left(\frac{\partial}{\partial s_{(ji)}}-\frac{\partial}{\partial a_{(ji)}}\right) + \delta_{ij}\frac{\partial}{\partial d_{(i)}} .\tag{7}$$ La Dirac derivados vuelve después de algunos álgebra $$ \left(\frac{\partial}{\partial M_{ij}}\right)_D~=~\frac{\theta_{ij}}{2}\frac{\partial}{\partial s_{(ij)}}+\frac{\theta_{ji}}{2}\frac{\partial}{\partial s_{(ac)}} + \delta_{ij}\frac{\partial}{\partial d_{(i)}} ~=~\frac{1}{2} \left(\frac{\partial}{\partial M_{ij}}+\frac{\partial}{\partial M_{ji}}\right).\la etiqueta{8}$$

4. Otras complicaciones que surgen si las coordenadas y/o restricciones no son definidos a nivel global.

Answer 2

A mí me parece un poco inapropiado para diferenciar una matriz ortogonal con respecto a sus componentes. Por definición, esto significa que usted quiere averiguar cómo los otros componentes de la matriz cambiar si varían de un componente. Sin embargo, esto sólo es definido de forma exclusiva en el caso de(2), pero no para TANTO($N>2$). Para ver esto de forma más explícita, considere la posibilidad de una rotación en 3D. Aquí tienes 3 ángulos, y si desea cambiar una entrada por lo general, existen diferentes posibilidades. Esto por supuesto no es nada sino la declaración de que ASÍ($N>2$) tiene más de un generador.

Por lo tanto, más razonable, de manera que (en mi humilde opinión) para diferenciar una matriz ortogonal es escribir como $$ O=\exp(T)\;,\quad\text{where}~T~\text{is antisymmetric}$$ y se diferencian w.r.t. los componentes de $T$ en forma análoga a lo que usted cita para la simetría de la matriz de diferenciación. Esto puede ser aplicado en una manera similar a todos los de la matriz de grupos, por ejemplo, para unitaria de las matrices de $T$ anti-Hermitean.

Sólo para elaborar su declaración de que la dependencia de los derivados es malo: se podría derivar la fórmula para el SO(2) el uso de la paramterization $$ O=\exp(\theta\cdot T_1)=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\;,$$ donde $T_0$ es el antisimétrica "unidad" de la matriz. Entonces $$ \frac{\partial O_{ij}}{\partial O_{k\ell}}=\frac{\partial O_{ij}}{\partial \theta}\cdot\frac{\partial \theta}{\partial O_{k_\ell}}= \frac{\partial O_{ij}}{\partial \theta}\cdot\left(\frac{\partial O_{k_\ell}}{\partial \theta}\right)^{-1}\;.$$ Esto nos lleva al mismo resultado que el anterior ya que $$ \frac{\partial O}{\partial \theta}=\begin{pmatrix}-\sin\theta & \cos\theta\\ -\cos\theta & -\sin\theta\end{pmatrix}\;.$$ Pero también es claro que el punto en que se toma la derivada de cuestiones.