¿Se conservan las singularidades aisladas esenciales bajo funciones holomorfas no nulas?

Question

Pregunta. En el análisis complejo univariado, ¿se conservan las singularidades aisladas esenciales bajo funciones holomorfas no cero?

Por ejemplo, si ya hemos probado que$e^{1/z}$ tiene una singularidad esencial en$0$, ¿podemos deducir que$e^{e^{1/z}}$ también tiene uno en cero, sin hacer ningún cálculo?

Answer 1

Deje $f\colon D\longrightarrow\mathbb C$ ser una analítica de la función y supongamos que tiene una singularidad esencial en algún punto de $z_0$. Deje $g$ ser una constante en toda la función. A continuación, $g\circ f$ también tiene una singularidad esencial en a $z_0$. Esto es así porque, por el Casorati-Weierstrass, si $U$ es un barrio de $z_0$ tal que $U\setminus\{z_0\}\subset D$, $f\bigl(U\setminus\{z_0\}\bigr)$ es un subconjunto denso de $\mathbb C$. Por otro lado, es un simple corolario del teorema de Liouville que la imagen de $g$ es densa. Por lo tanto, $(g\circ f)(D)$ es demasiado densa. Y de esto se desprende que $g\circ f$ también tiene una singularidad esencial en a $z_0$.

Answer 2

Creo esencial aislado singularidades se conservan en virtud de que no sea constante, toda funciones.

De hecho, si $g$ tiene una singularidad esencial en a $0$, a continuación, Gran Picard nos dice que la imagen en $g$ de cualquier perforado barrio de $0$ es $\mathbb C$ o $\mathbb C$ menos de un punto. Por otra parte, si $f$ no es constante en toda la función, entonces aplicando Poco a Picard a $f$, nos enteramos de que la imagen en $f \circ g$ de cualquier perforado barrio de $0$ $\mathbb C$ menos en la mayoría de los dos puntos, y, en particular, esta imagen es denso en $\mathbb C$. Por lo tanto, es imposible para $f \circ g$ a tener un polo o una singularidad removible en $0$.