Pregunta sobre el uso de la continuidad de una seminorma.

Question

Casi tengo una tarea problema resuelto, pero he utilizado un reclamo que puede ser dudosa.

La configuración es esta: Vamos a $(V,Q)$ ser localmente convexo del espacio ($Q$ es de la familia de seminorms la inducción de la topología en $V$). Y deje $q\in Q$.

Reclamo:

Para cualquier vecindad $U$$0$$V$. Existe una lo suficientemente pequeño $\epsilon > 0$ tal que $q^{-1}([0,\epsilon))\subset U$.

La razón de esta afirmación me ayuda es que tengo que demostrar algo acerca de todos los barrios de $0$$V$, y facilita mucho las cosas si puedo simplificar mi situación a los conjuntos de la forma $q^{-1}([0,\epsilon))$.

Answer 1

Creo que hay un ejemplo más simple. Tome$V=\mathbb{R}^2$,$Q=\{p_1,p_2\}$ donde para todos$x\in V$ tenemos$p_1(x)=|x_1|$ y$p_2(x)=|x_2|$. Entonces$(V,Q)$ es un espacio localmente convexo. Tome$U=p_2^{-1}([0,1))=\{x\in V: |x_2|<1\}$, entonces para todos$\varepsilon>0$ el vecindario de cero$U$ no está contenido en$p_1([0,\varepsilon))$