Valor del límite$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\sin(\frac{1}{x})}$

Question

Cuál es el valor del límite:$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\sin(\frac{1}{x})}$ $ Creo que la respuesta debería ser$1$, pero escuché a uno de mis maestros diciendo que en realidad no está definido. ¿Alguien sería tan amable de aclarar?

Answer 1

La función$\sin(1/x)$ se define para$x \in D=\mathbb R \setminus(\{0\} \cup \{\frac{1}{k \pi}: k \in \mathbb Z , k \ne 0\})$.

$0$ es un punto de acumulación de$D$, por lo tanto,$\lim_{x \to 0, x \in D} \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\sin(\frac{1}{x})}$ tiene sentido.

Como$\frac{\sin(\frac{1}{x})}{\sin(\frac{1}{x})}=1$ para todos$x \in D$, el límite$=1$.