Dado un mapa continuo (suprayectivo) de un espacio métrico compacto, el argumento de Kryloff-Bogolioubuff muestra que hay al menos$T$ medida invariante y por lo tanto una o innumerables medidas para las cuales$T$ es ergódico. ¿Es cada medida de Borel ergódica (e invariante) para algún mapa continuo?
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Jonas
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Cualquier constante mapa es continua y el único invariante conjuntos de $\emptyset$ y la de todo el espacio. Por lo tanto, cualquier medida que se ergodic con respecto a una constante mapa.
Pero sospecho que significaba invariante ergodic medidas. Buena pregunta, pero que es un asunto completamente diferente y yo soy estrictamente responder a supregunta. Sin embargo, tenga en cuenta que ergodic theory no se inicia con medidas invariantes. Por ejemplo, una medida es ergodic si y sólo si cualquier función que es invariante en casi todas partes es en realidad constante en casi todas partes. Esto no requiere que la medida es invariante!
Sólo una pequeña corrección: Krylov-Bogolubov del teorema requiere de un espacio métrico compacto.
Un ergodic medida invariante asociado a una órbita periódica es uniforme en el que la órbita. Por lo tanto, un finitely apoyaron la medida que no es uniforme a lo largo de su apoyo no es un ergodic medida invariante para cualquier medibles de transformación.
Actualización: Sospecho que la respuesta sigue siendo negativa, incluso si se supone que la medida es no atómica, pero no conozco a un contra-ejemplo. Sin embargo, si usted no requiere que el mapa sea continuo (pero simplemente medibles), entonces la respuesta es positiva: todos los no-atómica medida de probabilidad en un espacio métrico compacto es ergodic para algunos medibles de transformación.
Es decir, si $X$ es un completo espacio métrico separable y $\mu$ es un no-atómica Borel medida de probabilidad en $X$, entonces la medida del espacio de $(X,\mu)$ es isomorfo mod $0$ a la unidad de intervalo con la medida de Lebesgue. Tomar cualquier mapa en la unidad de intervalo para que la medida de Lebesgue es ergodic (es decir, una irracional de rotación) y la levante para $X$.
