¿Por qué el vector de funciones con valores bien definidos " cuando multivalor funciones no?

Question

Estoy en busca de un 'intuitiva' respuesta aquí, porque tengo no formales de formación en matemáticas, pero me encuentro en un comparativamente matemáticas-pesado de Doctorado (percepción visual; muchos de los neurocientíficos, por un lado, y CS popular en el otro).

Sólo las funciones que se asignan un número de entradas a una sola salida son considerados 'true' o 'bien definidas las funciones. He visto cuadratura (y presumiblemente otros exponentes) un ejemplo: [número] cuadrado produce una única "salida", aunque algunas de las salidas para las diferentes entradas puede ser la misma: por ejemplo, -2 y 2 al cuadrado ambas igual a 4. Por el contrario, he visto raíz cuadrada dado como un ejemplo de un NO-'bien definida la función, porque sqrt(4) puede ser igual a 2 y -2. Una sola entrada se asigna a varias salidas, la violación de la definición de un "verdadero" de la función.

Presumiblemente, los beneficios de la 'verdadera' funciones definidas por esta restricción venir en términos de los supuestos que uno puede hacer, y garantiza que uno puede confiar cuando el razonamiento acerca de la función. Vector de valores de retorno de funciones múltiples valores escalares (organizada dentro de una tupla) y teniendo en cuenta mi programador de fondo yo no puedo ver cómo esto es diferente, excepto en cuanto a la terminología, a partir de una función de varios valores.

Sin embargo, yo nunca he leído a nadie sugiriendo vector de valores de las funciones no son del todo ciertas funciones. Tal como está, si yo se enfrenta a la tarea de invertir una función que toma múltiples entradas, me gustaría simplemente definir la inversa de como vector de valores, para eludir la restricción. Mi sqrt(4) sería la tupla (2,-2). Desde la perspectiva de la ingeniería de software, incluso en C, donde las funciones pueden devolver más de un argumento, el argumento podría ser una matriz o una estructura. Se siente como cualquiera de ambos o ninguno de multivalor y el vector de funciones con valores de cumplir con la definición de ser "bien definido' / 'true' funciones. Lo estoy entendiendo mal?

Answer 1

Lo que usted está consiguiendo confundido por la mayoría, probablemente, es el hecho de que un vector parece ser múltiples elementos, pero realmente no lo es, es tan solo un elemento que (a menudo) tiene varias partes.

Usted puede incluso han llamado conjunto de valores de las funciones. Fácil, pensar es la función que toma un entero positivo para el conjunto de sus primos divisores. Vamos a llamar a esta función $\pi$.

Lo importante en ambos casos es que una entrada sólo tiene una salida. Así, en el caso de un vector de valores de la función de la salida es el vector completo (todas sus partes). En el caso de que el conjunto de valores de la función para el primer divisores tiene para obtener el conjunto de todos los primos divisores. Así, por ejemplo, $\pi(15)=\{3,5\}$ usted no puede tener $\pi(15)=\{3\}$ o $\pi(15)=\{5\}$. Sólo hay el uno conjunto que contiene todos los divisores. La situación es la misma con el vector de valores de las funciones. Sólo hay un vector de entrada. La función no puede devolver sólo una parte de un vector. Por lo tanto todavía tenemos sólo una salida para cada entrada-es sólo una más de salida.

En cuanto a por qué no definimos inversos como vector valorado, que tiene una muy sencilla razón. No se invierte más. La definición de una función inversa de una función $f$ es una función de $g$ que $g(f(x))=x$ si el valor de $g$ es un vector que contiene a $x$ que no hace lo que queremos. No nos dice el valor de la entrada original a la función $f$.

Answer 2

Su intuición parece muy bien; el problema parece principalmente lingüística.

Vamos a empezar con el habitual (ligeramente pedante) definición de "función" en términos de conjuntos: Si $X$ $Y$ son no-vacía de conjuntos, su producto Cartesiano $X \times Y$ a es el conjunto cuyos elementos son pares ordenados $(x, y)$$x \in X$$y \in Y$. Una función de $f:X \to Y$ es un subconjunto de a $X \times Y$ que satisface la siguiente propiedad:

Para cada $x$$X$, no existe un único $y$ $Y$ tal que $(x, y) \in f$.

El contenido conceptual es que cada entrada de $x$ únicamente determina la salida $y = f(x)$. Filosóficamente, una función puede ser visto como una formalización matemática de determinismo: Si las condiciones iniciales (es decir, $x$) son conocidos, luego un posterior estado (es decir, $y$) está unívocamente determinado.

Tenga en cuenta que para evitar la ambigüedad verbal, los matemáticos siempre (al menos implícitamente) especificar el dominio $X$ (el conjunto de entradas) y el de destino $Y$ (el conjunto de las posibles salidas) cuando se habla de una función. (No a los matemáticos a menudo puede permitirse el lujo de ser más laxo, escribir las fórmulas o el equivalente y hablando de "la función correspondiente".)

Es sin duda útil en algunas circunstancias para permitir la "multi-funciones con valores". Un multi-función con valores de $F:X \to Y$ podría ser definido como un subconjunto de a $X \times Y$ la satisfacción de la propiedad:

Para cada $x$$X$, existe un $y$ $Y$ tal que $(x, y) \in F$.

Así como en ciencias de la computación, un multi-función con valores de $F:X \to Y$ puede ser "interpretado" (o, más precisamente, "convierte a") de un solo valor de la función al permitir que la función devuelva un "compuesto de estructura de datos" en lugar de un elemento de $Y$.

Para convertir un multi-función con valores en un solo valor de la función, podemos ver $F$ como tomar valores en el juego de poder $\mathscr{P}(Y)$, cuyos elementos son los subconjuntos de a $Y$.

Por ejemplo, si $X = [0, \infty)$ $Y = (-\infty, \infty)$ denotan intervalos de números reales, el conjunto de $$ F = \{(x, y)\text{ en } X \times Y: Y^{2} = x\} $$ sería el (generalmente el doble de valor, es decir, no bien definido) "función de raíz cuadrada", $F(x) = \pm\sqrt{x}$.

El "valor" de $F$ a un número real positivo $x$, sin embargo, podría ser visto como el conjunto (un.k.un., desordenada par) $\{\sqrt{x}, -\sqrt{x}\}$. Hacerlo equivaldría a la definición de un valor único (es decir, bien definido) en función de $F_{1}:[0, \infty) \to \mathscr{P}\bigl((-\infty, \infty)\bigr)$ en "la manera obvia": Si $0 \leq x$, $y \in F_{1}(x)$ si y sólo si $y^{2} = x$, si y sólo si $y = \sqrt{x}$ o $y = -\sqrt{x}$. Como una fórmula, $$ F_{1}(x) = \{-\sqrt{x}, \sqrt{x}\}. $$

Alternativamente, el "valor" de $F$ podría ser visto como un par ordenado: $(-\sqrt{x}, \sqrt{x})$. Hacerlo equivaldría a definir una única función con valores de $F_{2}:[0, \infty) \to (-\infty, \infty) \times (-\infty, \infty)$. Como una fórmula, $$ F_{2}(x) = (-\sqrt{x}, \sqrt{x}). $$

(Uno se puede imaginar volviendo incluso objetos más exóticos, tales como medidas de probabilidad sobre un conjunto de elementos. El punto es, no hay una única manera de hacer un multi-función con valores en un solo valor de la función.)

De nuevo, el problema principal parece lingüística. La única relación $F$ anterior puede ser visto como "doble valor" en los números reales (no definido); como valor único en conjuntos de reales; o como un solo valor en pares ordenados de reales. Pero no hay ninguna ambigüedad terminológica, porque un matemático podría ver estas tres entidades distintas.

Answer 3

Su terminología es confusa porque no hay tal cosa como un vector de valores de la función, que es legítimo (y bien definido) en función de algo como $\mathbb R\times\mathbb R$. Lo que quieres decir es "¿por qué no puede una función que toma dos valores diferentes en la misma entrada?" Tal cosa no existe, se llama una relación. Pero una relación no es una función a menos que haya una propiedad adicional. No hay daño en el trabajo con las relaciones, solo que no se satisfacen todas las propiedades atractivas funciones, por lo que realmente necesitan las funciones y no sólo de las relaciones de avanzar.

Answer 4

Esto es debido a cómo definimos la igualdad de vectores:

$$ (x_1,\dots,x_n)= (y_1,\dots,y_n) \iff x_1=y_1, \dots, x_n=y_n $$

Una función de $f:A \to B$ ser un solo valor si $a = b \implies f(a)=f(b)$.

Tomemos, por ejemplo, la función de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 $$f(x) = (x,2x) $.

Esto está bien definido ya que para dos números cualesquiera $x,y$ tenemos: $$x=y \implies x=y,2x=2y \implies f(x) = (x,2x) = (y,2y) = f(y)$$

Answer 5

Ciertos objetos se denominan funciones si se ajustan a una determinada definición de criterios. Si un objeto no se ajustan a la definición de una función, no es una función. Por un lado, esto es completamente arbitraria. Por otro lado, una gran cantidad de matemáticas depende en gran medida en esta definición, por lo que cambiar esta definición para satisfacer su fantasía, no es una tarea para tomar a la ligera.

Usted necesita preguntarse a sí mismo si las "funciones" que están trabajando con la necesidad de obedecer a la definición matemática de una función: en particular, hacer su investigación y las conclusiones dependen de teoremas matemáticos que esperar una función para comportarse de cierta manera? Si lo hacen, usted debe atenerse a la definición aceptada. Si no, usted debe atenerse a la definición aceptada de todos modos.

Para responder a su pregunta directa: una función que devuelve un vector que ajusta a la definición de una función, porque el único valor devuelto' es un vector, y un vector es un objeto único. Este es el mismo que el de un equipo función que devuelve un puntero o una referencia a una estructura de datos distinta de la incorporada en los tipos primitivos. Cuando se llama a esta función de equipo, se espera que sólo un único retorno, y su algoritmo funciona correctamente. Si usted está esperando un vector, entonces el programa probablemente sabe para asegurarse de que tiene un vector y, a continuación, haga algo con ese vector.

Si usted tiene una función que toma un número como entrada y devuelve un número, entonces cualquier expresión matemática o programa de ordenador será escrito esperando un solo número. Si usted recibe un conjunto o vector de lugar, a continuación, su expresión o el programa no funciona como se esperaba.