La definición por grado y el número de intersección son equivalentes (número de enlace). [repost]

Question

Voy a volver a plantear una pregunta que hice anteriormente. No tuvo mucho éxito (probablemente por una introducción incompleta del problema por mi parte).

Estoy leyendo un artículo de Ricca ( http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/ricca.pdf p.1338 en la parte inferior) sobre el número de enlace. Me gustaría ver que su definición como el grado del mapa $\Psi$ es igual a la del número de intersección.

Un enlace $L$ tiene dos nudos componentes $\gamma_1$ y $\gamma_2$ , estos denotan incrustaciones de $S^1$ en $\mathbb{R}^3$ . Considere $$\Psi: \mathbb{T} \,\,(= C_1\times C_2)\to S^2: (s,t)\mapsto \textbf{n}(s,t) = \frac{\gamma_1(s) - \gamma_2(t)}{\bigl|\gamma_1(s) - \gamma_2(t)\bigr|} $$ Entonces $\text{deg} \Psi$ es una definición del número de enlace. Tomar una superficie Seifert $M$ de $\gamma_1$ (es decir, una superficie orientable con límite $\gamma_1$ ) entonces su número de intersección con $\gamma_2$ también dará el número de enlace.

Ahora me gustaría demostrar que son equivalentes. Por lo tanto, consideremos la variedad orientable
$$N = (M\times\gamma_2) \,\, \bigm\backslash \,\bigcup_{m\in M\cap \gamma_2} \mathcal{B}(m,\epsilon) $$ con límite $$\partial N = (\gamma_1\times\gamma_2) \cup \bigl(\bigcup_{m\in M\cap\gamma_2}\mathcal{S}(m,\epsilon)\bigr) $$ Considere también $\overline{\Psi}:N\to S^2: (x,y)\mapsto \frac{y-x}{|y-x|}$ . Su restricción a $\gamma_1\times\gamma_2$ es ahora $\Psi$ .

El grado de $\overline{\Psi}$ restringido a $\partial N$ es ahora cero. Así que obtenemos $$\text{deg}\biggl(\overline{\Psi}\biggm| {\gamma_1\times \gamma_2}\biggr) + \text{deg}\biggl(\overline{\Psi}\biggm|{\bigcup_{m\in M\cap \gamma_2} \mathcal{S}(m,\epsilon)} \biggr) =0 \text{.} $$ El primer término da el número de enlace definido por el grado. ¿Cómo puedo ver que el segundo término da el número de intersección?

Sé que esto tiene que ver con las orientaciones, pero todavía no tengo suficiente sentimiento para esto, para escribirlo rigurosamente. Realmente espero que alguien pueda explicar cómo funciona esto o al menos darme una pista. Gracias de antemano.

Answer 1

Esta es la idea en un contexto más general. Si tienes dos submanifolds orientados $X$ y $Y$ que se cruzan transversalmente en un punto de $\mathbb{R}^n$ (o en una variedad orientada arbitraria pero vista localmente como si viviera en $\mathbb{R}^n$ para poder utilizar operaciones vectoriales), entonces el mapa $\psi: (X \times Y )\setminus (X \cap Y) \to S^{n-1} \subset \mathbb{R}^n$ dado por $$(x,y) \mapsto \frac{y-x}{\|y- x\|}$$ codifica el signo de las intersecciones entre $X$ y $Y$ . Basta con considerar un modelo local con copias orientadas de $\mathbb{R}^k$ y $\mathbb{R}^\ell$ dentro de $\mathbb{R}^{k+\ell}$ . El mapa anterior se define en $(\mathbb{R}^k \times \mathbb{R}^\ell)\setminus \{(0,0)\}$ . Por comodidad, dejemos que $\bar S^{n-1}$ y $S^{n-1}$ denotan las esferas unitarias en $\mathbb{R}^k \times \mathbb{R}^\ell$ y $\mathbb{R}^{k+\ell}$ respectivamente, cada uno orientado como el límite de la bola unitaria. Nótese que el mapa obvio $\mathbb{R}^k \times \mathbb{R}^\ell \to \mathbb{R}^{k+\ell}$ conserva la orientación si y sólo si la intersección $\mathbb{R}^k\cap \mathbb{R}^\ell$ es positivo. Se deduce que la restricción $\bar S^{n-1} \to S^{n-1}$ de este mapa tiene grado positivo (resp. negativo) uno cuando $\mathbb{R}^k$ y $\mathbb{R}^\ell$ se cruzan positivamente (resp. negativamente). La restricción de $\psi$ a $\bar S^{n-1}$ es simplemente $(x,y)\mapsto y-x$ y observamos que es una composición de factores $\bar S^{n-1} \to \bar S^{n-1} \to S^{n-1}$ donde el primer mapa es $(x,y)\mapsto (-x,y)$ y el segundo mapa es $(x,y)\mapsto x+y$ . El primer mapa tiene grado $(-1)^k$ y el segundo mapa tiene grado positivo (resp. negativo) uno cuando la intersección es positiva (resp. negativa).

Ahora, en nuestro escenario, tenemos casi la misma configuración, pero tendremos que hacer un pequeño cambio que, en última instancia, invierte el grado. Para cada punto de intersección $(m_\alpha,t_\alpha) \in M \cap \gamma_2$ eliminamos una bola 3 vecina de $M \times S^1$ obteniendo un nuevo colector $N$ . Obsérvese que cada componente de la frontera esférica $S^2_\alpha$ se orienta como el límite de $N$ y no el límite de la bola 3 (eliminada), por lo que la orientación de $S^2_\alpha$ es el reverso de la esfera $\bar S^{n-1}$ en la discusión anterior. Así, en un positivo punto de intersección, el grado de $\overline{\Psi}$ es $-(1)(-1)^{k=2}=-1$ . Asimismo, su grado es $-(-1)(-1)^{k=2}=1$ en negativo puntos de intersección.