Límite de la integral impropia $ \lim_{x\to \infty} \ \int_1^x x\,e^{t^2-x^2} \,dt$

Question

Necesito calcular el límite de la siguiente integral impropia:

$$ \lim_{x\to \infty} \ \int_1^x x\,e^{t^2-x^2} \,dt$$

Mi solución es $\infty$ pero cuando lo introduzco en WolframAlpha la solución es $\frac{1}{2}$ Así que supongo que el mío está mal, pero no puedo averiguar dónde. Esta es mi solución actual:

$$ First\ calculate\ the\ integral\ (leaving\ away\ the\ limit\ for\ now)\\[10pt] Let \ u = t^2-x^2 \\ \frac{du}{dt} = 2t \leftrightarrow dt = \frac{du}{2t} \\[20pt] \ Substitution:\\[5pt] \begin{align*} x \ \int_{1-x^2}^0 x\,e^{u} \frac{du}{2t} &= \frac{x}{2t} \ \int_{1-x^2}^0 e^{u} \,du \\ &= \frac{x}{2t} \ {\bigl (}{e^u{\bigl )}{\bigl \vert }\,}_{1-x^2}^{0} \\ &= \frac{x}{2t} \ {\bigl (}{e^0-e^{1-x^2}{\bigl )}\,} \\ &= \frac{x}{2t} - \frac{e^{1-x^2} \ x}{2t} \\ &= \frac{x - e^{1-x^2} \ x}{2t} \\ &= \frac{x \ (1-e^{1-x^2})}{2t} \end{align*}\\ \ \\[20pt] Now\ calculate\ the\ limit:\\[10pt] \lim_{x\to \infty} \ \frac{x \ (1-e^{1-x^2})}{2t} = \infty $$

¿Qué he hecho mal, que no consigo la solución $\frac{1}{2}$

Answer 1

Cuando se hace la sustitución no se puede poner el $1/t$ fuera de la integral. Deberías transformarla en algo con $u$ dentro de la integral.

Esta es otra forma: El límite que se quiere calcular, es también el límite del cociente $$ \frac{\int_1^x e^{t^2}\,dt}{e^{x^2}/x}. $$ Diferenciando el numerador y el denominador por separado, obtenemos $$ \frac{\frac{d}{dx}\int_1^x e^{t^2}\,dt}{\frac{d}{dx}e^{x^2}/x}= \cdots= \frac{1}{2-1/x^2}. $$ El límite de la última expresión, como $x\to+\infty$ es $1/2$ . Por lo tanto, por la regla de l'Hospital, esto también es cierto para su problema original.

Answer 2

Es $$ \int \limits_1^x x e^{t^2-x^2} dt = \frac{x}{e^{x^2}} \int \limits_1^x e^{t^2} dt = \frac{x}{e^{x^2}} \cdot (G(x) - G(1)) $$ para alguna función diferenciable $G: [1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ por el teorema fundamental del cálculo. Además, $G'(x) = e^{x^2}$ Por lo tanto $G$ es estrictamente creciente y $\lim \limits_{x \to \infty} G(x) = + \infty$ . Por lo tanto, debemos calcular el límite $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x \cdot G(x)}{e^{x^2}} $$ Este límite es de la forma $\frac{\infty}{\infty}$ Por lo tanto, por la regla de L'Hospital: $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x \cdot G(x)}{e^{x^2}} \overset{L'H}{=} \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x \cdot G'(x) + G(x)}{2x \cdot e^{x^2}} = \frac{1}{2} + \lim \limits_{x \to \infty} \frac{G(x)}{2x \cdot e^{x^2}} $$ El segundo límite se evalúa de nuevo con L'Hospital: $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{G(x)}{2x \cdot e^{x^2}} = \frac{1}{2} \lim \limits_{x \to \infty} \frac{G'(x)}{e^{x^2} + 2 x^2 \cdot e^{x^2}} = \frac{1}{2} \lim \limits_{x \to \infty} \frac{e^{x^2}}{e^{x^2} + 2 x^2 \cdot e^{x^2}} = \frac{1}{2} \lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{1 + 2 x^2} = 0 $$ En definitiva, llegamos a $$ \lim \limits_{x \to \infty} \int \limits_1^x x e^{t^2-x^2} dt = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x \cdot G(x)}{e^{x^2}} = \frac{1}{2} $$