Demuestre que ∂(M×N)=M × ∂N.

Question

Sea M una variedad lisa (sin frontera) y N una variedad lisa con frontera.

¿Podría alguien ayudarme a demostrar que $∂(M × N) = M × ∂N$ ?

Vi una sugerencia aquí en el sitio de cómo hacerlo, pero estoy estancado.

ps.: lo siento, sé que ya se preguntó algo similar a este problema, pero no soy capaz de hacerlo.

Answer 1

en general $\partial (M\times N)=(\partial M\times N)\cup (M\times\partial N)$

Entonces, ¿qué se puede decir?

Answer 2

Que sea $\Bbb H^n$ el medio espacio $\{(x_1,\dots,x_n)\in\Bbb R^n:x_n\ge 0\}$ . Cada punto de $M\times N$ tendrá una base nhood de conjuntos abiertos homeomórficos a los productos $U\times V$ de conjuntos abiertos $U\subset\Bbb R^m$ , $V\subset\Bbb H^n$ . Ahora, tienes dos casos (¿qué casos?)...