¿Cómo demostrar la desigualdad elemental?

Question

La desigualdad es la siguiente: $$\frac{(1+x)^q-1}{x+x^q} \leq C(q),$$ donde $q\in [1,+\infty)$ y $x > 0$ y la constante $C$ depende únicamente de $q$ . Es muy bueno si alguien puede proporcionar el valor mínimo de $C(q)$ Supongo que el valor mínimo es $q$ .

Answer 1

Demostraremos que para $q$ la función $\frac{(1+x)^q-1}{x^q+x}$ está limitada. Por la regla de L'Hospitals, tenemos $$\lim_{x\to 0^+}\frac{(1+x)^q-1}{x^q+x}=\lim_{x\to 0^+} \frac{q(1+x)^{q-1}}{qx^{q-1}+1}=q.$$

Y está claro que $$\lim_{x\to \infty}\frac{(1+x)^q-1}{x^q+x}=1$$ si $q\gt 1$ . (El caso $q=1$ es fácil de tratar).

De ello se desprende la limitación.

Answer 2

Esto no es una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario.

Para la función $$F(x,q) = \frac{(1 + x)^q - 1}{x^q + x}$$ André Nicolas demostró que $$F(0,q)=q$$ $$F(\infty,q)=1^{+}$$ Lo que miré es el problema de la derivada y aquí, hay algunas cosas que son interesantes en cuanto $q\gt 2$ .

La derivada $$F'(0,q)=\frac 12 q(q-1)\gt 1$$ significa que la función pasa por un valor máximo. Por otro lado $$F'(1,q)=\frac{1}{4} \left(q-2^q+1\right)<0$$ significa que el mínimo está entre $0$ y $1$ . Por lo tanto, el valor de la función en el máximo es siempre mayor que $$F(1,q)=\frac{1}{2} \left(2^q-1\right)$$ Expandiendo la función como una serie de Taylor alrededor de $x=1$ muestra que la derivada se cancela cerca de $$x^*=\frac{4+8 q+2^q (q^2-3q-4) }{2+6q+2^q \left(q^2-3 q-2\right)}$$ que muestra claramente el comportamiento asintótico de la localización del máximo.

Lo que parece (no he podido demostrarlo) es que el valor máximo de la función es algo así como $$F(x^*,q)\approx 2^{q-1}(1+\epsilon)$$ y con mayor precisión, $$F(x^*,q)\approx \frac{1}{2} \left(2^q-1+\frac{\left(2^q-q-1\right)^2}{2+6 q+2^q (q^2-3 q-2)}\right)$$

Todo lo anterior se comprobó numéricamente. Por ejemplo,

• para $q=10$ el máximo se sitúa en $0.972364$ mientras que la aproximación da $\approx 0.970930$ el valor de la función en el máximo es $515.050$ mientras que la aproximación da $518.862$
• para $q=30$ el máximo se sitúa en $0.997536$ mientras que la aproximación da $\approx 0.997525$ el valor de la función en el máximo es $5.37202\times 10^8$ mientras que la aproximación da $5.37535\times 10^8$

Un problema interesante.

Answer 3

André Nicolas demostró que $C(q)$ es finito y $\ge q$ . Claude Leibovici demostró que $C(q)\ge \frac12(2^{q}-1)$ y conjeturó que $C(q)\approx 2^{q-1}(1+\epsilon)$ . Todavía nos falta un límite explícito para $C(q)$ desde arriba; he aquí una muy sencilla:

Por el teorema del valor medio ampliado con $f(x)=(1+x)^q$ y $g(x)=x+x^q$ encontramos que $$ F(x,q)=\frac{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{q(1+\xi)^{q-1}}{1+q\xi^{q-1}}$$ con $0<\xi<x$ . El sumo de la función $G(x,q)=\frac{q(1+x)^{q-1}}{1+qx^{q-1}}$ es más fácil de manejar que $$\begin{align}G'(x,q)&=\frac{q(q-1)(1+x)^{q-2}\cdot (1+qx^{q-1})-q(1+x)^{q-1}\cdot q(q-1)x^{q-2}}{(1+qx^{q-1})^2}\\ &=\frac{q(q-1)(1+x)^{q-2}}{(1+qx^{q-1})^2}\cdot(1+qx^{q-2}-(1+x)qx^{q-2})\\ &=\frac{q(q-1)(1+x)^{q-2}}{(1+qx^{q-1})^2}\cdot(1-qx^{q-1}) \end{align}$$ Por lo tanto, para $q>1$ (tenga en cuenta que $G(x,1)=1$ ) $G'$ tiene un único cambio de signo, por lo que $G$ un máximo en $x^*=\sqrt[q-1]{1/q} <1$ . Por lo tanto $$F(x,q)\le G(x^*,q)=\frac q2 (1+x^*)^{q-1}<q2^{q-1}$$ (Asintóticamente, esto puede mejorarse a $G(x^*,q)\sim \sqrt q\,2^{q-1}$ que sigue siendo mayor que el valor conjeturado, por lo que no entro en ese detalle).