El teorema aún se mantiene. Supongamos que dos figuras geométricas en el plano que tienen la misma forma. Entonces existe una función de $f$ que se asigna a cada punto en una de las dos figuras a un punto en el otro la figura de tal manera que hay algún número positivo $k$ tal que para cualquier par de puntos $P,Q$ en la primera figura, la distancia entre el $f(P)$ $f(Q)$ $k$ veces la distancia entre el$P$$Q$. En otras palabras, $f$ multiplica todas las distancias por $k$.
Un teorema de geometría dice que el área de la segunda figura --- la imagen de $f$ - - - $k^2$ veces el área de la primera figura --- el dominio de $f$.
Por lo tanto el área de un arco de un cicloides es $k^2$ veces el área de un arco de otro cicloides si la longitud de la base de la primera cicloides es $k$ veces la longitud de la base de la segunda.
Dicen que las longitudes de los lados son $a,b,c$ y tenemos $a^2+b^2=c^2$. Vamos (capital) $A$ ser la zona de la cicloides cuya base tiene una longitud (en minúsculas) $a$. A continuación, el cycloids cuyas bases tienen longitudes $b$ $c$ debe tener áreas de $(b^2/a^2)A$$(c^2/a^2)A$. Así, las zonas de la cycloids son
$$
Un,\qquad \frac{b^2}{a^2}, \qquad \frac{c^2}{a^2} A.
$$
El teorema de entonces implica que la suma de los dos primeros de estos es la tercera. Así funciona para arcos de cycloids. Y usted puede decir lo mismo si de cualquier otra forma se utiliza.
El mencionado teorema de la geometría no recibe tanta atención en las aulas como se merece.
Aquí es una pregunta que he publicado sobre el uso de otras formas de plazas para simplificar la prueba del teorema de Pitágoras. Yo estaba aturdido por la respuesta: Albert Einstein demostró lo que puede ser la más simple de todas las pruebas mediante el uso de ciertos triángulos en lugar de cuadrados.
