Prob. 5, 27 Segundos en Munkres' TOPOLOGÍA, 2ª ed: Cada compacto espacio de Hausdorff es un espacio de Baire

Question

Este es el problema 5 en la sección 27 de Munkres' TOPOLOGÍA, 2ª ed

Deje $X$ ser un compacto Hausdorff espacio; deje $\{A_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ ser una contables de la colección de conjuntos cerrados de $X$. Si cada conjunto $A_n$ ha vacío interior en $X$, entonces la unión de $\bigcup A_n$ ha vacío interior en $X$.

Cómo mostrar este hecho? Lo que si tenemos una innumerable colección de conjuntos cerrados, cada conjunto teniendo vacío interior? ¿La conclusión todavía?

Mi esfuerzo:

Primer resultado preliminar:

Deje $X$ ser un compacto Hausdorff espacio, y dejan $A$ ser un subconjunto cerrado de $X$. Si $U$ es un no-vacío conjunto abierto en $X$ tal que $U \not\subset A$, entonces no es un no-vacío conjunto abierto $V$ $X$ tal que $\overline{V} \subset U-A$.

Prueba:

Desde $U \not\subset A$, la $U - A$ no está vacía. Deje $x \in U-A$. Deje $B \colon= A \cup (X-U)$. A continuación, $B$ es cerrado y $x \not\in B$. Desde $X$ es Hausdorff, existen abiertos disjuntos conjuntos de $V$ $W$ $X$ tal que $x \in V$$B \subset W$, e $V \cap W = \emptyset$.

Por lo tanto $$V \subset X-W \subset X - [A \cup (X-U)] = (X-A) \cap [X-(X-U)] = (X-A) \cap U = U-A.$$ Y desde $X-W$ es cerrado en $X$ y contiene $V$, por lo que también podemos deducir que el $\overline{V} \subset X-W$. Así tenemos $$x \in V \subset \overline{V} \subset X-W \subset U-A,$$ es decir, $V$ es un no-vacío conjunto abierto en $X$$\overline{V} \subset U-A$, como se requiere.

Estoy en lo cierto?

Ahora la principal prueba:

Deje $A \colon= \cup_{n \in \mathbb{N}} A_n$. Nos muestran que $A$ ha vacío interior. Para esto, nos muestran que no hay ninguna que no esté vacía conjunto abierto $U$ $X$ tal que $U \subset A$.

Deje $U$ ser cualquier no-vacío conjunto abierto en $X$. Entonces a partir de la $A_1$ ha vacío interior, el conjunto $U$ no está contenido en $A_1$. De modo que existe un no-vacío conjunto abierto $V_1$ $X$ tal que $\overline{V_1} \subset U-A_1$.

Supongamos ahora que el no-vacío conjunto abierto $V_{n-1}$ ( $n= 2, 3, 4, \ldots$ ) ha sido elegido tal que $\overline{V_k} \subset V_{k-1} - A_k$ por cada $k = 1, 2, \ldots, n-1$.

Ahora $V_{n-1} \not\subset A_n$ desde $A_n$ ha vacío interior. De modo que existe un no-vacío conjunto abierto $V_n$ $X$ tal que $\overline{V_n} \subset V_{n-1} - A_n$.

Así pues, tenemos una secuencia no vacía de conjuntos cerrados $(\overline{V_n})_{n\in\mathbb{N}}$ $X$ tal que $\overline{V_{n+1}} \subset \overline{V_n}$ $\overline{V_n} \cap A_n = \emptyset$ por cada $n= 1, 2, 3, \ldots$. Por otra parte, $\overline{V_1} \subset U$.

Esta secuencia tiene la intersección finita de la propiedad, y por lo que tiene un no-vacío intersección desde $X$ es compacto. Supongamos $x \in \cap_{n\in\mathbb{N}} \overline{V_n}$. A continuación, $x \in \overline{V_n}$ por cada $n$. Por lo $x \in U$ $x \not\in A_n$ cualquier $n$. Por lo tanto $x \in U - A$ y, por tanto,$U \not\subset A$. Pero $U$ fue la de no-vacío conjunto abierto en $X$. Por lo tanto $A = \cup_{n\in\mathbb{N}} A_n$ ha vacío interior.

Answer 1

La prueba se ve bien. Usted está mostrando que un compacto Hausdorff espacio es un espacio de Baire, que es un espacio en el que cualquier contables de la unión de la nada densos conjuntos ha vacío interior. Sin embargo, el lema anterior vale también para la clase más amplia de localmente compacto Hausdorff espacio: Si $A$ es cerrado y $U$ es un conjunto abierto no contenida en $A$, entonces cualquier punto de $x\in U-A$ tiene un pacto vecindario $K$$U-A$. Desde $X$ es Hausdorff, $K$ es cerrado. Ahora si $V$ es el interior de $K$, $\overline V$ es un subconjunto cerrado de $K$, por lo tanto compacto. Por lo tanto $U-A$ no está vacío conjunto abierto con una compacta de cierre.

En la principal prueba, usted puede ahora modificar los conjuntos de $V_i$ a no puede ser vacío abierto conjuntos compactos de cierre. A continuación, la colección de $\dots\subseteq\overline{V_{i+1}}\subseteq\overline{V_i}\subseteq\dots$ tiene la FIP dentro de $\overline{V_1}$, y por lo tanto tiene un no-vacío intersección.