Este es el problema 5 en la sección 27 de Munkres' TOPOLOGÍA, 2ª ed
Deje $X$ ser un compacto Hausdorff espacio; deje $\{A_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ ser una contables de la colección de conjuntos cerrados de $X$. Si cada conjunto $A_n$ ha vacío interior en $X$, entonces la unión de $\bigcup A_n$ ha vacío interior en $X$.
Cómo mostrar este hecho? Lo que si tenemos una innumerable colección de conjuntos cerrados, cada conjunto teniendo vacío interior? ¿La conclusión todavía?
Mi esfuerzo:
Primer resultado preliminar:
Deje $X$ ser un compacto Hausdorff espacio, y dejan $A$ ser un subconjunto cerrado de $X$. Si $U$ es un no-vacío conjunto abierto en $X$ tal que $U \not\subset A$, entonces no es un no-vacío conjunto abierto $V$ $X$ tal que $\overline{V} \subset U-A$.
Prueba:
Desde $U \not\subset A$, la $U - A$ no está vacía. Deje $x \in U-A$. Deje $B \colon= A \cup (X-U)$. A continuación, $B$ es cerrado y $x \not\in B$. Desde $X$ es Hausdorff, existen abiertos disjuntos conjuntos de $V$ $W$ $X$ tal que $x \in V$$B \subset W$, e $V \cap W = \emptyset$.
Por lo tanto $$V \subset X-W \subset X - [A \cup (X-U)] = (X-A) \cap [X-(X-U)] = (X-A) \cap U = U-A.$$ Y desde $X-W$ es cerrado en $X$ y contiene $V$, por lo que también podemos deducir que el $\overline{V} \subset X-W$. Así tenemos $$x \in V \subset \overline{V} \subset X-W \subset U-A,$$ es decir, $V$ es un no-vacío conjunto abierto en $X$$\overline{V} \subset U-A$, como se requiere.
Estoy en lo cierto?
Ahora la principal prueba:
Deje $A \colon= \cup_{n \in \mathbb{N}} A_n$. Nos muestran que $A$ ha vacío interior. Para esto, nos muestran que no hay ninguna que no esté vacía conjunto abierto $U$ $X$ tal que $U \subset A$.
Deje $U$ ser cualquier no-vacío conjunto abierto en $X$. Entonces a partir de la $A_1$ ha vacío interior, el conjunto $U$ no está contenido en $A_1$. De modo que existe un no-vacío conjunto abierto $V_1$ $X$ tal que $\overline{V_1} \subset U-A_1$.
Supongamos ahora que el no-vacío conjunto abierto $ V_{n-1}$ ( $ n= 2, 3, 4, \ldots$ ) ha sido elegido tal que $\overline{V_k} \subset V_{k-1} - A_k$ por cada $k = 1, 2, \ldots, n-1 $.
Ahora $V_{n-1} \not\subset A_n$ desde $A_n$ ha vacío interior. De modo que existe un no-vacío conjunto abierto $V_n$ $X$ tal que $\overline{V_n} \subset V_{n-1} - A_n$.
Así pues, tenemos una secuencia no vacía de conjuntos cerrados $(\overline{V_n})_{n\in\mathbb{N}}$ $X$ tal que $\overline{V_{n+1}} \subset \overline{V_n}$ $\overline{V_n} \cap A_n = \emptyset$ por cada $n= 1, 2, 3, \ldots$. Por otra parte, $\overline{V_1} \subset U$.
Esta secuencia tiene la intersección finita de la propiedad, y por lo que tiene un no-vacío intersección desde $X$ es compacto. Supongamos $x \in \cap_{n\in\mathbb{N}} \overline{V_n}$. A continuación, $x \in \overline{V_n}$ por cada $n$. Por lo $x \in U $ $x \not\in A_n$ cualquier $n$. Por lo tanto $x \in U - A$ y, por tanto,$U \not\subset A$. Pero $U$ fue la de no-vacío conjunto abierto en $X$. Por lo tanto $A = \cup_{n\in\mathbb{N}} A_n$ ha vacío interior.
